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DIVISIÓN DE POLINOMIOS HORNER RUFFINI TEOREMA DEL RESTO PDF

La operación de la división aparece y se desarrolla: conjuntamente con los números fraccionarios. Leonardo de Pisa fue el primero que utilizó la denominación de números quebrados al llamarles números ruptos (rotos) y empleó la raya de quebrado para separar el numerador del denominador. En el siglo XVI aparece la reducción de quebrados a un común denominador por medio del M.C.M.
La división de Polinomios se simplifica cuando aparecen los trabajos de Guillermo Horner y Paolo Ruffini; donde se muestran esquemas que hacen que la división de polinomios sea más sencilla.
Identidad fundamental de la división
Dados los polinomios dividendo D(x), divisor (x), cociente q(x) y residuo R(x), establecidos por la definición. Se cumple la identidad:  
conocido universalmente como el ALGORITMO DE EUCLIDES, desde el punto de vista algebraico.
Ejemplo 1 :
Dividir:   entre  
Resolución:
Efectuando por el método clásico
Como se pude observar, el residuo es nulo. El ejemplo 1 nos representa a una división inexacta y el 2 a una división exacta. Por esto, dependiendo del residuo, las divisiones se clasifican tal como sigue:


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  • 1) División  Exacta :
    Si el residuo de la división e un polinomio idénticamente nulo. Es decir , luego, por ello se tendrá: 
    Al cual se le denomina “algoritmo de la divisibilidad” cuyo equivalente racional, también se puede expresar así:  
    Donde q(x) es el cociente entero que se genera de la división exacta de los polinomios D(x) y d(x). Del ejemplo 2 anterior, se tiene:
    2) División  Inexacta :
    Si el residuo de la división no es un polinomio idénticamente nulo. 
    Propiedades  de  grados 
    Establezcamos la siguiente simbología convencional:
    asos que se presentan en la división de polinomios
    i) División  de  monomios  :
    Tener en cuenta que la división de monomios siempre es EXACTA.

    ii) División  de  un  polinomio  en un  monomio :
    Se tendrá que aplicar la propiedad distributiva de la división respecto de la adición.
    Para una división exacta:
    Para una división inexacta:

    Por simple inspección, se deduce que:
    El cociente: 
    El residuo: 

    iii)DIVISIóN  ENTRE  DOS POLINOMIOS
    En este caso debemos tener en cuenta todos los principios de una división euclidea y que el proceso de la operación lo vamos a realizar con respecto a una variable tomada como referencia, al cual se le denomina ORDENATRIZ de la división.
    Para dividir polinomios existen diversos métodos, cuyos procedimientos presentan reglas particulares que facilitan la resolución de la operación. Presentaremos a continuación algunos criterios para efectuar una división.
    i) MÉTODO  clásico :
    Para dividir dos polinomios cualquiera mediante este método, se debe seguir el siguiente procedimiento.

    1°) Los polinomios dividendo y divisor deben estar ordenados en forma decreciente. En el caso de que la división sea exacta, la ordenación es arbitraria.

    2°) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, y se obtiene el primer término del cociente.
    3°) El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se les cambia de signo, colocándolos debajo del dividendo con su correspondiente término semejante.
    4°) Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor, y se obtiene el segundo  término del cociente.
    5°) Se procede como en el paso número 3.
    6°) Se continúa la operación hasta que se llegue a la última columna del dividendo.

    Ejemplo 1 :
    ii) métodos  de  los coeficientes separados :
    Es un procedimiento similar a la de la metodología clásica, con la diferencia que en este caso, sólo se utilizan los coeficientes. Debemos tener en cuenta que a parte de la ordenación, tanto el dividendo como el divisor deben estar completos. Caso contrario, se sustituirán con CEROS los espacios correspondientes de los términos que faltasen.
    nota :
    Para todos los métodos es necesario que el dividendo y el divisor estén ordenados y completos (o al menos tenga esa forma).
    MÉTODO DE HORNER 
    Para este método sólo se utilizan coeficientes, empleando el siguiente esquema:
    Procedimiento:

    * Los lugares en que se indica dividendo y divisor se colocan sólo coeficientes.

    En el caso del divisor la letra “d” simboliza al primer coeficiente del divisor, las demás letras representan a los demás coeficientes, que se colocan con signo cambiado.
    Igualmente del cociente y el resto sólo se obtienen coeficientes.

    * La línea que separa el cociente del resto se traza de acuerdo al grado del divisor.
    Es decir, se cuenta de derecha a izquierda tantos lugares como lo indica el número que representa el grado del divisor.
    Ejemplo 1 :
    Dividir: 
            
    Procedimiento:
    1°) El dividendo y el divisor deben ser completo y ordenados en forma descendente, si faltara algún término se
    completa con cero.
    2°) Los coeficientes del dividendo, completo, se escriben en forma horizontal y los coeficientes del divisor se colocan en forma vertical, escribiendo su primer coeficiente con su propio signo y las restantes con el signo cambiado, así:
     
    3°) Separamos mediante una línea vertical el cociente del resto. Para ello contamos una cantidad de columnas, (de derecha a izquierda) igual al grado del divisor:

    4°) Dividimos el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficiente del divisor. Osea: . Este viene a ser el primer coeficiente del cociente: se coloca debajo de la segunda línea horizontal y lo multiplicamos por el 2° y 3°coeficiente del divisor, los resultados se colocan tal como se muestra en el siguiente esquema:
    5°) Sumamos en la segunda columna del dividendo, o sea: ; este resultado lo dividimos entre el primer coeficiente del divisor (4); o sea: , que viene a ser el segundo coeficiente del cociente e igual que en el paso anterior lo multiplicamos por el 2° y 3°coeficiente del divisor y disponemos tal como se muestra en el siguiente esquema:

    En nuestro ejemplo, el grado del divisor es 2, por ello colocamos la línea vertical punteada después de 2 columnas a partir de la derecha.
    6°) Se continúa así sucesivamente. Cuando se llega a la altura del término independiente del dividendo la división ha concluido. Sumamos directamente las columnas correspondientes al residuo.
    MÉTODO DE RUFFINI
    Se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma: .
    Al igual que en Horner, utilizaremos sólo coeficientes, cumpliendo el siguiente esquema:

    Ejemplo 1 :
    Dividir:

    RESOLUCIÓN :
    1°) Se colocan los coeficientes completos del dividendo en forma horizontal. El divisor se iguala a cero y se despeja la variable            

    2°) Bajamos, debajo de la horizontal, el primer coeficiente del dividendo y lo multiplicamos por el valor hallado al despejar  la   incógnita  en  el  divisor , o sea (–2). El resultado se coloca debajo del 2° coeficiente del dividendo; tal como se muestra en el esquema.
    3°) Sumamos la segunda columna, o sea , y multiplicamos por el valor obtenido  al despejar x   del  divisor, o sea (–2)
    4°) Sumamos la tercera columna,  y multiplicamos por (–2) y así sucesivamente hasta llegar al término independiente del dividendo.
    El último número que se obtiene al sumar la última columna es el resto o residuo.
    TEOREMA DEL RESTO
    Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la división, se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma:  y en algunos casos especiales.
    regla :
    Para calcular el resto, se iguala el divisor a cero, se calcula el valor de la variable (siempre que el divisor sea de primer grado) y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo. El resultado obtenido es el resto.
    Ejemplo 1 :
    Calcular el resto en:  
    RESOLUCIÓN :
    Hacemos: 
    Reemplazamos en el dividendo el valor hallado para x:
                    

    Ejemplo 2 :
    Calcular el resto en: 

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