Álgebra problemas resueltos de secundaria y pre universidad

ECUACIONES DE PRIMER GRADO EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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  • IGUALDAD : Es la relación o comparación que nos indica que dos expresiones tienen el mismo valor. CLASES DE IGUALDAD IDENTIDAD (igualdad absoluta) : Es aquella que se verifica siempre, o sea que es evidente por sí misma. Así: ECUACIÓN (igualdad condicional) : Es una igualdad que sólo se verifica para valores particulares atribuido a su incógnita. Así: 5x – 3 = 3x + 1 ... (I) Es una igualdad que sólo se cumple cuando x = 2, en efecto si sustituimos la variable «x» por 2, tenemos: 5(2) – 3 = 3(2) + 1 7=7 La ecuación cumple, convirtiéndose en una identidad. ECUACIÓN ALGEBRAICA Es una igualdad literal algebraica relativa de dos expresiones algebraicas que contienen una sola incógnita. ejemplo: SOLUCIÓN O RAÍZ DE UNA ECUACIÓN ALGEBRAICA : Es aquel valor que forma la incógnita de la ecuación, que al reemplazarla en ésta, se obtiene una igualdad numérica. En el ejemplo anterior: x = 1 es solución o raíz de la ecuación , ya que al sustituirla en dicha ecuación: Da lugar a la igualdad numérica: 2 = 2 CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN ALGEBRAICA : Es el conjunto S de valores que toma la incógnita para los cuales se verifica la ecuación. ejemplo 1 : La ecuación x3 – 7x + 6 = 0, se verifica para el conjunto de valores de ‘‘x’’ S = {–3 ; 1 ; 2} ejemplo 2 : La ecuación: 2x4 – 3x3 – 6x2 + 5x + 5 = 0 Cuyo equivalente es (x+1)2 (2x–3) (x–2) = 0 Se verifica para el conjunto de valores: CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES De acuerdo al número de elementos del conjunto S, pueden clasificarse de la siguiente manera: I) ECUACIÓN COMPATIBLE : Es aquella que admite en su conjunto solución por lo menos un elemento. Motivo por el cual, se subdivide en: A) ECUACIÓN COMPATIBLE DETERMINADA : Es aquella que admite un número finito de elementos para su conjunto solución, esto es, S es un conjunto finito. ejemplo: La ecuación algebraica: x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 Se verifica para x = 1, x = 2, x = 3. Es decir: S = {1; 2 ; 3} B) ECUACIÓN COMPATIBLE INDETERMINADA : Es aquella que admite un número infinito de elementos para su conjunto solución, es decir S es un conjunto infinito. ejemplo: La ecuación racional: Efectuando operaciones elementales: resulta: 0x + x = 0 o simplemente: 0x = 0; La cual se verifica para todo ‘‘x’’ distinto de cero, y se dice que S es un conjunto infinito. II) ECUACIÓN INCOMPATIBLE : Denominada también ecuación absurda; es aquella que no admite en su conjunto solución, elemento alguno, esto es S es un conjunto vacío. ejemplo : En la ecuación Reduciendo, sin restringir: Despejando, se tiene: x = 6 Pero observamos que al reemplazar el valor de ‘‘x’’ en la ecuación inicial, resulta matemáticamente ¡Absurda!. Luego no existe, un valor para ‘‘x’’ que verifique la ecuación. Por lo tanto: ECUACIÓN ALGEBRAICAS EQUIVALENTES Son aquellas ecuaciones que admiten las mismas soluciones. ejemplo: Las ecuaciones expuestas ...(I) (2x – 1)2= 1 ...(II) ...(III) Son equivalentes, ya que cada una de ellas se verifican para x = 0 ó x = 1. ECUACIÓN POLINOMIAL Es aquella ecuación algebraica, cuyos miembros son polinomios, la cual se puede reducir a la forma general: P(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ...+ an–1x+an=0 donde a0, a1, a2, ..., an–1, an son los coeficientes con a00. GRADO U ORDEN DE UNA ECUACIÓN POLINOMIAL : Se denomina grado u orden de una ecuación polinomial P(x) = 0, al mayor exponente de la incógnita «x»; donde P(x) no posee términos semejantes. ejemplo : P(x) = x5 – 3x3 + 7x – 5 = 0 es una ecuación polinomial de quinto grado. RAÍZDE UNA ECUACIÓN POLINOMIAL Dado un polinomio P(x) y un número ‘‘r’’, que pertenece a C, se dice que ‘‘r’’ es raíz de la ecuación P(x) = 0, si verifica la igualdad numérica: P(r) = 0. ECUACIONES POLINOMIALES EQUIVALENTES : Son aquellas ecuaciones del mismo grado, que admiten las mismas raíces. Por ejemplo: Las ecuaciones polinomiales: 4x3 – 12x2 – x + 3 = 0 admiten en común, las mismas raíces: Propiedad: Dadas las ecuaciones polinomiales del mismo grado: a0xn + a1xn–1+a2xn–2+.....+an = 0 ; a00 b0xn + b1xn–1+b2xn–2+.....+bn = 0 ; b00 Si ambas son equivalentes, se cumple: CRITERIOS DE RESOLUCIÓN : Al resolver una ecuación debemos tener en cuenta lo siguiente: I) TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS : Es llevar uno o más términos de un miembro de una ecuación al otro, recordemos que al transponer términos, estos pasan efectuando la operación inversa. Entonces, si algo está: ii) Si la ecuación presenta a la incógnita en el denominador, debemos tener cuidado de que su solución no anule al denominador. (Restricciones) Por ejemplo antes de resolver: , debemos asegurarnos que: , es decir iii) Si la ecuación presenta a la incógnita dentro de un radical de índice par, luego de obtener la(s) solución(es) de dicha ecuación, se deberá comprobar estas soluciones en la ecuación original. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Una ecuación de primer grado con una incógnita es aquella que puede reducirse a la forma general siguiente: Donde: x = incógnita a, b = valores reales constantes La ecuación de primer grado, también es llamada ecuación lineal. Al despejar la incógnita, se obtiene: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Las siguientes son algunas recomendaciones que te ayudarán sin duda alguna a la correcta solución de las ecuaciones de primer grado. * Eliminar denominadores. * Suprimir signos de colección. * Reducir términos semejantes. * Transponer términos agrupando en un miembro todas las incógnitas y en el otro todas las cantidades conocidas. * Reducir nuevamente términos semejantes. * Despejar la incógnita. * Comprobar la solución. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO I) ECUACIONES CON COEFICIENTES ENTEROS : Son aquellas ecuaciones cuyos coeficientes son números enteros. Ejemplo: Resolver: 2x(x+3) – (x+1)(x+2) + 3(1–x2) = –2(x+1)2 Resolución: Se efectúan las operaciones indicadas: 2x2+6x–(x2+3x+2)+3–3x2 = –2(x2+2x+1) Þ 2x2+6x–x2–3x–2+3–3x2 = –2x2–4x–2 Se suman términos semejantes: Si es posible se eliminan términos exactamente iguales de ambos miembros de la igualdad: Se transponen los términos que involucran la variable a un solo miembro de la igualdad y los que no la involucran al otro miembro: Se efectúan las operaciones indicadas y se despeja la variable: 3x + 4x = –2 – 1 II) ECUACIONES CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS : Son aquellas ecuaciones cuyos coeficientes son números fraccionarios. Ejemplo: Resolver: Resolución: Calculamos el M.C.M. de los denominadores: Se multiplica a toda la igualdad por dicho M.C.M. Se simplifica con su respectivo denominador y se multiplica por su numerador. Se resuelve como una ecuación lineal. III) ECUACIONES LITERALES : Son aquellas ecuaciones en donde los coeficientes están representados por letras (a, b, c, d, m, n, p,...) Ejemplo: Resolver: a(2ax + b) – b(1 –2bx) = a2 + b(a + b – 1) Resolución: Efectuando operaciones: Þ 2a2x + ab – b + 2b2x = a2 + ab + b2 – b Eliminamos los términos repetidos en ambos miembros Þ 2a2x + 2b2x = a2 + b2 Se factoriza la variable: 2a2x + 2b2x = a2 + b2 Þ 2x(a2 + b2) = a2 + b2 Despejamos la variable: Como están multiplicando pasan dividiendo IV) ECUACIONES IRRACIONALES : Son aquellas en donde hay incógnitas dentro de radicales. Ejemplo: Resolver: Resolución: Se eleva la ecuación a un exponente igual al índice del radical (como hay raíz cúbica, se eleva al cubo) : Se simplifican los radicales y efectuamos las operaciones indicadas :

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