Álgebra problemas resueltos de secundaria y pre universidad

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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  • ecuación cuadráticas o de segundo grado Son aquellas que luego de reducir términos semejantes y pasar todos los términos al primer miembro adoptan la forma: Donde: "a", "b", "c" son coeficientes (a ¹ 0) "x" incógnita. Debes tener presente que toda ecuación de segundo grado tiene dos soluciones o también llamadas raíces de la ecuación. Una ecuación de segundo grado en ‘‘x’’ es de la forma: ax2+bx+c=0, siendo ‘‘a’’, ‘‘b’’ y ‘‘c’’ constantes y a0. Ejemplo: x2 – 6x+5=0; 2x2+x–6=0 y 3x2– 5=0, son ecuaciones de segundo grado con una incognita. Las dos últimas ecuaciones se pueden dividir por 2 y 3, respectivamente, obteniéndose , siendo en ambos casos el coeficiente de x2 igual a 1. Una ecuación cuadrática pura es aquella que carece de término en ‘‘x’’; por ejemplo, 4x2 – 5=0. RESOLUCIÓN DE UNA ecuaciÓn CUADRÁTICA Resolver una ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0 es hallar los valores de ‘‘x’’ que la satisfagan. Estos valores reciben el nombre de soluciones o raíces de la ecuación dada. Ejemplo: x2 – 5x+6=0 se satisface para x = 2 x = 3. Por tanto x = 2 x = 3 son soluciones raíces de la citada ecuación. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS : Existen varias formas de resolver una ecuación de segundo grado, pero mencionaremos las dos más importantes: Por factorización.- Aquí generalmente se utiliza el aspa simple, además recuerda: Si: a . b = 0 Þ a = 0 v b = 0 Ejemplo: Resolver: x2 – 7x + 12 = 0 reSolución: Luego: x2 – 7x + 12 = (x – 4)(x – 3) Cada factor se iguala a cero: x – 4 = 0 v x – 3 = 0 x1 = 4 v x2 = 3 Estas son las raíces o soluciones. Por fórmula general : Ejemplo: Resolver: x2 – 7x + 12 = 0 reSolución: Primero identificamos los valores de "a", "b" y "c". Así tenemos: a = 1; b = –7; c = 12 y aplicamos la fórmula: Luego: A) ecuaciÓnES CUADRÁTICAS PURAS: Ejemplos: I) x2 – 4 = 0 Tendremos x2 = 4, x =2, y las raíces son: x=2; –2 II) 2x2 – 21 = 0 Tendremos y las raíces son: III) x2 + 9 = 0 Tendremos x2 = –9 y las raíces son: B) POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES: Ejemplos: I) x2 – 5x + 6 = 0, se puede escribir en la forma (x–3)(x – 2)=0. El producto de los dos factores será cero cuando lo sea cualquiera de ellos o ambos a la vez. Si: x – 3 = 0 Þ x = 3 ó x – 2 = 0 Þ x = 2 Por consiguiente, las soluciones son: x = 3 ó x = 2 II)3x2 + 2x – 5 = 0, se puede escribir en la forma (3x+5)(x–1)=0. Por tanto, de 3x+5 = 0 ó x–1 = 0, se obtienen las soluciones: III) x2 – 4x + 4 = 0, se puede escribir en la forma (x – 2)(x – 2) = 0 Por tanto, la ecuación tiene la raíz doble: x = 2 Factorización por aspa simple: Ejemplo 1 : Resolver : x2 + 2x – 24 = 0 Þ (x + 6) (x – 4) = 0 Se iguala cada factor a cero: x + 6 = 0 Þ x1 = – 6 ó x – 4 = 0 Þ x2 = 4 Ejemplo 2 : Resolver: x2 + 6x + 5 = 0 reSolución: Factorizando: (x + 5) (x + 1) = 0 (x + 5) = 0 ó (x + 1) = 0 x1 = – 5 ó x2 = – 1 C.S. { – 5; – 1} Ejemplo 3 : Resolver : x2 – 9 = 0 reSolución: Factorizando: (x + 3) (x – 3) = 0 (x + 3) = 0 ó (x – 3) = 0 x1 = – 3 ó x2 = 3 C.S. = { – 3; 3} C)FORMANDO UN CUADRADO PERFECTO: Ejemplo: I) Resolver: x2–6x–2 = 0 Se escribe en un miembro los términos con la incógnita y se pasa el término independiente al otro miembro. x2 – 6x = 2 Sumando 9 a ambos miembros el primero se transforma en un cuadrado perfecto, es decir: x2 – 6x + 9 = 2 + 9 ó (x – 3)2 = 11 De donde: y las raíces son: Para aplicar este método el coeficiente de x2 debe ser 1 y el número que hay que sumar a los dos miembros ha de ser el cuadrado de la mitad del coeficiente de ‘‘x’’ Ejemplo: Resolver: 3x2 – 5x+1=0 Resolución: Dividiendo por 3, Sumando a los dos miembros, D) APLICANDO LA FÓRMULA GENERAL: Las soluciones de la ecuación de segundo grado, ax2+bx+c=0, vienen dadas por la fórmula:, en la que , recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Ejemplo 1 : Resolver: 3x2 – 5x + 1=0. En este caso: a=3, b=–5,c=1, por tanto: y de donde: Ejemplo 2: Resolver : 4x2 – 3x + 1 = 0 donde: a = 4 , b = – 3 , c = 1 Estudio de la ecuación de segundo grado En la ecuación: ax2 + bx + c = 0, se tiene: I) Si: a ¹ 0 Ù b; c Î R, la ecuación es: Compatible determinada II) Si: a = 0 Ù b = 0 Ù c = 0, la ecuación es: Compatible indeterminada III) Si: a = 0 Ù b = 0 Ù c ¹ 0, la ecuación es: Incompatible Discriminante (D) : llamamos discriminante a la expresión subradical contenida en la fórmula general, es decir : D = b2 – 4ac Análisis del discriminante: D > 0 : Las raíces son reales y diferentes D = 0 : Las raíces son reales e iguales D < 0 : Las raíces son complejas y conjugadas Propiedades de las raíces En la ecuación: ax2 + bx + c = 0, donde: a, b, c Î R y a ¹ 0 se cumplirá: Fundamentales: I) Suma de raíces: x1 + x2 = – II) Producto de raíces: x1x2 = III) Diferencia de raíces: |x1 – x2| = ; a > 0 IV) Suma de inversas: Ejemplo: Dada la ecuación: x2 – 7x + 12 = 0; determinar la suma y el producto de raíces. reSolución: En primer lugar, se identifican los valores de “a”, “b” y “c”: Luego, aplicamos la propiedad anterior: Suma Þ x1 + x2 Producto Þ x1 . x2 Raíces simétricas: Si "x1" y "x2" son raíces simétricas se cumplirá: x1 = m ; x2 = – m Þ x1 + x2 = 0 Þ – = 0 Þ b = 0 Raíces recíprocas: Si "x1" y "x2" son raíces recíprocas se cumplirá: x1 = k ; x2 = Þ x1x2 = 1 Þ = 1 Þ c = a Raíz nula: En la ecuación cuadrática de la forma: ax2 + bx + c = 0, se tendrá una raíz nula cuando x = 0, es decir se cumplirá: c = 0 Reconstrucción de una ecuación de segundo grado Considerando: ax2 + bx + c = 0<> x2 – Puede ser también: x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 se cumplirá: x2 – Sx + P = 0 Donde: S = suma de raíces P = producto de raíces Ecuaciones equivalentes: Si las ecuaciones de segundo grado a1x2 + b1x + c1 = 0 a2x2 + b2x + c2 = 0 tienen las mismas raíces se cumplirá: ejercicio 1 : Hallar: , si: “x1”; “x2” son las raíces de la ecuación: x2 + 3x – 1 = 0 reSolución: Operando: ejercicio 2 : Hallar "m" si las raíces de la ecuación son recíprocas: (m – 3)x2 + (3m + 9)x – (2m + 7) = 0 reSolución: Si las raíces son recíprocas el producto de raíces es 1 : x1x2 = 1 Þ Þ – 2m – 7 = m – 3Þ – 4 = 3m Þ m = – 4/3 ejercicio 3 : Formar la ecuación cuadrática que tiene por raíces a 3 y – 7. reSolución: Por: Reemplazando: x2 – (3 – 7)x + (3)( – 7) = 0 x2 + 4x – 21 = 0 RAÍCES IRRACIONALES CONJUGADAS : Sea la ecuación: ax2+bx+c = 0; a0 de raíces x1x2; donde (a, b, c) (coeficientes racionales) Si: , es una raíz irracional, entonces: , es la otra raíz irracional conjugada. RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS : Sea la ecuación: ax2+bx+c=0; a0 de raíces x1x2; donde (a, b, c). Si: x1 = m + ni, es una raíz compleja, entonces: x2 = m – ni; es la otra raíz compleja conjugada.

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