EXPRESIONES ALGEBRAICAS , OPERACIONES CON POLINOMIOS-VALOR NUMÉRICO - NOTACIÓN POLINOMIAL PDF
ADICIÓN DE POLINOMIOS , SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS , MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Expresión Algebraica (E.A.)
Se llama expresión algebraica a la reunión de variables y constantes, ligadas entre sí mediante las siguientes operaciones matemáticas: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. En un número finito de veces.
Término Algebraico
Es una expresión cuyas partes no están separadas ni por el signo más ni por el signo menos.
Valor Numérico de una Expresión (V.N.) :
Es el valor que adquiere una expresión cuando se reemplazan las variables por cantidades conocidas.
TÉRMINOS SEMEJANTES
Dos o más términos son semejantes si poseen las mismas variables afectadas de los mismos exponentes; sin importar la naturaleza de los coeficientes.
Ejemplos :
–7x4y5; 9x4y5. Son términos semejantes porque poseen la misma parte literal con los mismos exponentes.
3x3y2; –2x3y no son términos semejantes porque, a pesar de poseer la misma parte literal no tienen los mismos exponentes.
POLINOMIO
Un polinomio es aquella expresión algebraica donde los exponentes de su(s) variables(s) son números enteros positivos e inclusive cero.
Ejemplos :
DEFINICIÓN DE POLINOMIO DE UNA VARIABLE :
Es aquella expresión algebraica que presenta la siguiente forma general:
NOTACIÓN POLINÓMICA :
Es la representación de la(s) variable(s) que forman al polinomio. Generalmente se les ubica como un sub-índice al nombre del polinomio.
Un polinomio que tiene como única variable «x» se representa de la siguiente manera P(x) y se lee: «P en x» o «P de x» significa el polinomio P tiene como única variable «x».
También se puede representar los polinomios que tienen más de una variable:
P(x;y) polinomio que tiene 2 variables: x e y
P(x,y,z) polinomio que tiene 3 variables: x, y, z
ALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO (V.N.)
El valor numérico (V.N.) es el número que resultará de reemplazar la(s) variable(s) por cantidades específicas llamadas números.
Ejemplo 1 :
Si: P(x)= 3x3 – 2x2 – 5x + 10, hallar el valor numérico para x = 2
Resolución :
Reemplazamos el valor de «x» en cada término 3(2)3–2(2)2 – 5(2) + 10
= 3×8 –2×4 – 10 + 10= 24 – 8=16
Þ P(2)= 16
* También podemos calcular el valor del polinomio P(x) para x = 2 de la siguiente manera: P(2) = 3(2)3 – 2(2)2 – 5(2) +10
Þ P(2) = 24 – 8 – 10 + 10 Þ P(2) = 16
Esta anotación es el que generalmente se usa para denotar el valor numérico.
Ejemplo 2 :
Hallar el valor numérico del polinomio
P(x;y) = x2 – 2xy + y2 para: x = 3; y = 2
Resolución:
P(3,2) = 32 – 2(3)(2) + 22
Þ P(3,2)= 9 – 12 + 4 Þ P(3,2)= 13 – 12 = 1
Esta anotación significa que el valor numérico del polinomio:
P(x;y)= x2 – 2xy + y2 para : x = 3; y = 2 es 1
Ejemplo 3 :
Calcular el valor numérico de:
P(x) = 3x2 + 2x + 2 para x = 2
Resolución :
P(2) = 3(2)2 + 2(2) + 2 = 3(4) + 4 + 2
= 12 + 4 + 2
Þ V.N. = 18
Ejemplo 4 :
Calcular el valor numérico de:
P(x;y) = x3y – xy2 + y para x = 2 ; y =1
Resolución :
P(2;1) = 23(1) – (2)(1)2 + 1
Þ P(2;1) = 8 – 2 + 1 = 7
Ejemplo 5 :
Sea P(x) = 5x – 1, calcular P(4)
Resolución:
Primero se calcula el valor que va a tomar la variable, ¿cómo?, igualando la notación de los polinomios que tienen el mismo nombre. Luego tenemos:
P(x) = P(4) entonces: x = 4
Después de calcular el valor de la variable, se reemplaza en el polinomio original:
Si: x = 4 entonces P(4) = 5 (4) – 1 = 19
Ejemplo 6 :
Sea P(2x-1)= 7x + 2 , calcular P(3).
Resolución:
Calcula el valor que va a tomar la variable, ¿cómo?, igualando la notación de los polinomios que tienen el mismo nombre. Así tenemos:
P(2x –1) = P(3) entonces: 2x– 1 = 3
Resolviendo tenemos que x = 2
Luego de calcular el valor de la variable, se reemplaza en el polinomio original:
Si x = 2 entonces
Þ P(3) = 14 + 2 Þ P(3) = 16
Por lo tanto: P(3) = 16
Ejemplo 7 :
Sea P(x) = 7x + 3. Calcular P(2)
Resolución:
Forma general de representar Polinomios en «x»
Polinomio de grado cero : a
Polinomio de grado uno : ax+b
Polinomio de grado dos : ax2+bx+c
Polinomio de grado tres : ax3+bx2+cx+d
Polinomio de grado cuatro :
ax4+bx3+cx2+dx+e
Existen valores de gran utilidad que vamos a verlos:
Ejemplo 1 :
Si P(x)= 10x4 + 18x3 –5x2–8x + 9
Para x = 1. Halla el V.N.
Resolución:
P(1) = 10(1)4 + 18(1)3 – 5(1)2 – 8(1) + 9
Þ P(1) = 10 + 18 – 5 – 8 + 9 = 24
Son coeficientes del polinomio
El V.N. de P(x) para x = 1 representa la suma de coeficientes del polinomio
La suma de coeficientes del polinomio es 24
Ejemplo 2 :
Si P(x) =10x4–18x3 –5x2 – 8x + 9
Para: x = 0. Halla el V.N.
Resolución :
P(0) = 10(0)4 – 18(0)3 – 5(0)2 – 8(0) + 9
Þ P(0) = 9
Término Independiente
Þ El V.N. de P(x) para x = 0, da como resultado el término independiente.
Esto se cumple en cualquier polinomio.
OPERACIONES CON POLINOMIOS
La Adición de Polinomios :
Es aquella operación en la cual dados dos o más polinomios llamados sumandos, se
determina otro polinomio equivalente llamado suma. Así tenemos:
A(x) + B(x) + ... + M(x) = S(x)
Sumandos Suma
Regla General para Sumar :
Para sumar dos o más expresiones algebraicas escriben una a continuación de otra con su propio signo y se reducen términos semejantes.
También, se puede escribir los términos de un polinomio unos debajo de otros cuidando que éstos sean semejantes y luego se reducen estos términos semejantes.
Ejemplo 1 :
Sumar: A = 7x2y3 – 5xy ; B = 3x2y3 – 2xy
Resolución
A + B = (7x2y3 + 3x2y3) + (– 5xy – 2xy)
Þ A + B = 10x2y3 + (– 7xy)
Þ A + B = 10x2y3 – 7xy
Ejemplo 2 :
Sumar :
A = 2xy2 + 3x3y4 ; B = 3xy2 + 4x3y4
Resolución
A + B = (2xy2 + 3xy2) + (3x3y4 + 4x3y4)
Þ A + B = 5xy2 + 7x3y4
Ejemplo 3 :
Sumar :
3x2 + 4xy –18y2 con 17y2 – 14xy + 19x2
Resolución :
Colocando uno a continuación de otro:
(3x2 – 4xy – 18y2) + (17y2 – 14xy + 19x2)
= 3x2 + 4xy – 18y2 + 17y2 + 14xy + 19x2
= 22x2 – 10xy – y2
Colocando uno debajo del otro:
3x2 + 4xy – 18y2
19x2 – 14xy + 17y2
22x2 – 10xy – y2
La Sustracción de Polinomios:
Es la operación inversa de la adición y consiste en, dados los polinomios llamados minuendo y sustraendo, se pide determinar otro polinomio llamdo diferencia.
A(x) – B(x) = C(x)
Minuendo Sustraendo Diferencia
Regla General para Restar :
Se escribe el minuendo con sus propios signos, a continuación o por columnas el sustraendo con el signo de cada término cambiado y luego se reducen términos semejantes.
Ejemplo 1 :
Efectuar la diferencia
15x2 – 6xy + 12y2 – (14xy – 12x2 + 13y2)
Resolución:
15x2 – 6xy + 12y2 –
12x2 – 14xy – 13y2
27x2 – 20xy – y2
Ejemplo 2 :
Sean A = 3x2y – 2xy2 B = 7x2y + 3xy2
De A restar B nos piden A – B
A – B = (3x2y –2xy2) – (7x2y + 3xy2)
Þ A – B = 3x2y – xy2 – 7x2y – 3xy2
Þ A – B = (3x2y – 7x2y) + ( –2xy2 – 3xy2)
Þ A – B = – 4x2y + ( –5xy2)
Þ A – B = – 4x2y – 5xy2
Restar A de B nos piden B – A
Þ B – A = (7x2y + 3xy2) – (3x2y –2xy2)
Þ B – A = 7x2y + 3xy2 – 3x2y + 2xy2
Þ B – A = (7x2y – 3x2y) + (3xy2 + 2xy2)
Þ B – A = 4x2y + 5xy2
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Multiplicación de un Polinomio por un Monomio :
Se multiplica cada término de polinomio por el monomio.
Ejemplo 1:
12x2 ( – 4x + 12y4 + 16x3)=–48x3 + 144x2y4 + 192x5
Por
Ejemplo 2:
Multiplicación de Polinomios :
Se multiplica cada término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio.
Ejemplo 1 :
Multiplica (2x + 3)(2x – 5)
DIVISIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
DIVISIÓN : Es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo y divisor respectivamente), halla el otro factor (cociente).
DIVISOR DE MONOMIOS :
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben en orden alfabético las letras, colocando a cada base un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo con el exponente que tiene el divisor.
