EXPRESIONES ALGEBRAICAS , OPERACIONES CON POLINOMIOS-VALOR NUMÉRICO - NOTACIÓN POLINOMIAL PDF
ADICIÓN DE POLINOMIOS , SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS , MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Expresión Algebraica (E.A.)
Se llama expresión algebraica a la reunión de variables y constantes, ligadas entre sí mediante las siguientes operaciones matemáticas: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. En un número finito de veces.
Término Algebraico
Es una expresión cuyas partes no están separadas ni por el signo más ni por el signo menos.
Valor Numérico de una Expresión (V.N.) :
Es el valor que adquiere una expresión cuando se reemplazan las variables por cantidades conocidas.
TÉRMINOS SEMEJANTES Dos o más términos son semejantes si poseen las mismas variables afectadas de los mismos exponentes; sin importar la naturaleza de los coeficientes. Ejemplos : –7x4y5; 9x4y5. Son términos semejantes porque poseen la misma parte literal con los mismos exponentes. 3x3y2; –2x3y no son términos semejantes porque, a pesar de poseer la misma parte literal no tienen los mismos exponentes. POLINOMIO Un polinomio es aquella expresión algebraica donde los exponentes de su(s) variables(s) son números enteros positivos e inclusive cero. Ejemplos : DEFINICIÓN DE POLINOMIO DE UNA VARIABLE : Es aquella expresión algebraica que presenta la siguiente forma general: NOTACIÓN POLINÓMICA : Es la representación de la(s) variable(s) que forman al polinomio. Generalmente se les ubica como un sub-índice al nombre del polinomio. Un polinomio que tiene como única variable «x» se representa de la siguiente manera P(x) y se lee: «P en x» o «P de x» significa el polinomio P tiene como única variable «x». También se puede representar los polinomios que tienen más de una variable: P(x;y) polinomio que tiene 2 variables: x e y P(x,y,z) polinomio que tiene 3 variables: x, y, z ALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO (V.N.) El valor numérico (V.N.) es el número que resultará de reemplazar la(s) variable(s) por cantidades específicas llamadas números. Ejemplo 1 : Si: P(x)= 3x3 – 2x2 – 5x + 10, hallar el valor numérico para x = 2 Resolución : Reemplazamos el valor de «x» en cada término 3(2)3–2(2)2 – 5(2) + 10 = 3×8 –2×4 – 10 + 10= 24 – 8=16 Þ P(2)= 16 * También podemos calcular el valor del polinomio P(x) para x = 2 de la siguiente manera: P(2) = 3(2)3 – 2(2)2 – 5(2) +10 Þ P(2) = 24 – 8 – 10 + 10 Þ P(2) = 16 Esta anotación es el que generalmente se usa para denotar el valor numérico. Ejemplo 2 : Hallar el valor numérico del polinomio P(x;y) = x2 – 2xy + y2 para: x = 3; y = 2 Resolución: P(3,2) = 32 – 2(3)(2) + 22 Þ P(3,2)= 9 – 12 + 4 Þ P(3,2)= 13 – 12 = 1 Esta anotación significa que el valor numérico del polinomio: P(x;y)= x2 – 2xy + y2 para : x = 3; y = 2 es 1 Ejemplo 3 : Calcular el valor numérico de: P(x) = 3x2 + 2x + 2 para x = 2 Resolución : P(2) = 3(2)2 + 2(2) + 2 = 3(4) + 4 + 2 = 12 + 4 + 2 Þ V.N. = 18 Ejemplo 4 : Calcular el valor numérico de: P(x;y) = x3y – xy2 + y para x = 2 ; y =1 Resolución : P(2;1) = 23(1) – (2)(1)2 + 1 Þ P(2;1) = 8 – 2 + 1 = 7 Ejemplo 5 : Sea P(x) = 5x – 1, calcular P(4) Resolución: Primero se calcula el valor que va a tomar la variable, ¿cómo?, igualando la notación de los polinomios que tienen el mismo nombre. Luego tenemos: P(x) = P(4) entonces: x = 4 Después de calcular el valor de la variable, se reemplaza en el polinomio original: Si: x = 4 entonces P(4) = 5 (4) – 1 = 19 Ejemplo 6 : Sea P(2x-1)= 7x + 2 , calcular P(3). Resolución: Calcula el valor que va a tomar la variable, ¿cómo?, igualando la notación de los polinomios que tienen el mismo nombre. Así tenemos: P(2x –1) = P(3) entonces: 2x– 1 = 3 Resolviendo tenemos que x = 2 Luego de calcular el valor de la variable, se reemplaza en el polinomio original: Si x = 2 entonces Þ P(3) = 14 + 2 Þ P(3) = 16 Por lo tanto: P(3) = 16 Ejemplo 7 : Sea P(x) = 7x + 3. Calcular P(2) Resolución: Forma general de representar Polinomios en «x» Polinomio de grado cero : a Polinomio de grado uno : ax+b Polinomio de grado dos : ax2+bx+c Polinomio de grado tres : ax3+bx2+cx+d Polinomio de grado cuatro : ax4+bx3+cx2+dx+e Existen valores de gran utilidad que vamos a verlos: Ejemplo 1 : Si P(x)= 10x4 + 18x3 –5x2–8x + 9 Para x = 1. Halla el V.N. Resolución: P(1) = 10(1)4 + 18(1)3 – 5(1)2 – 8(1) + 9 Þ P(1) = 10 + 18 – 5 – 8 + 9 = 24 Son coeficientes del polinomio El V.N. de P(x) para x = 1 representa la suma de coeficientes del polinomio La suma de coeficientes del polinomio es 24 Ejemplo 2 : Si P(x) =10x4–18x3 –5x2 – 8x + 9 Para: x = 0. Halla el V.N. Resolución : P(0) = 10(0)4 – 18(0)3 – 5(0)2 – 8(0) + 9 Þ P(0) = 9 Término Independiente Þ El V.N. de P(x) para x = 0, da como resultado el término independiente. Esto se cumple en cualquier polinomio. OPERACIONES CON POLINOMIOS La Adición de Polinomios : Es aquella operación en la cual dados dos o más polinomios llamados sumandos, se determina otro polinomio equivalente llamado suma. Así tenemos: A(x) + B(x) + ... + M(x) = S(x) Sumandos Suma Regla General para Sumar : Para sumar dos o más expresiones algebraicas escriben una a continuación de otra con su propio signo y se reducen términos semejantes. También, se puede escribir los términos de un polinomio unos debajo de otros cuidando que éstos sean semejantes y luego se reducen estos términos semejantes. Ejemplo 1 : Sumar: A = 7x2y3 – 5xy ; B = 3x2y3 – 2xy Resolución A + B = (7x2y3 + 3x2y3) + (– 5xy – 2xy) Þ A + B = 10x2y3 + (– 7xy) Þ A + B = 10x2y3 – 7xy Ejemplo 2 : Sumar : A = 2xy2 + 3x3y4 ; B = 3xy2 + 4x3y4 Resolución A + B = (2xy2 + 3xy2) + (3x3y4 + 4x3y4) Þ A + B = 5xy2 + 7x3y4 Ejemplo 3 : Sumar : 3x2 + 4xy –18y2 con 17y2 – 14xy + 19x2 Resolución : Colocando uno a continuación de otro: (3x2 – 4xy – 18y2) + (17y2 – 14xy + 19x2) = 3x2 + 4xy – 18y2 + 17y2 + 14xy + 19x2 = 22x2 – 10xy – y2 Colocando uno debajo del otro: 3x2 + 4xy – 18y2 19x2 – 14xy + 17y2 22x2 – 10xy – y2 La Sustracción de Polinomios: Es la operación inversa de la adición y consiste en, dados los polinomios llamados minuendo y sustraendo, se pide determinar otro polinomio llamdo diferencia. A(x) – B(x) = C(x) Minuendo Sustraendo Diferencia Regla General para Restar : Se escribe el minuendo con sus propios signos, a continuación o por columnas el sustraendo con el signo de cada término cambiado y luego se reducen términos semejantes. Ejemplo 1 : Efectuar la diferencia 15x2 – 6xy + 12y2 – (14xy – 12x2 + 13y2) Resolución: 15x2 – 6xy + 12y2 – 12x2 – 14xy – 13y2 27x2 – 20xy – y2 Ejemplo 2 : Sean A = 3x2y – 2xy2 B = 7x2y + 3xy2 De A restar B nos piden A – B A – B = (3x2y –2xy2) – (7x2y + 3xy2) Þ A – B = 3x2y – xy2 – 7x2y – 3xy2 Þ A – B = (3x2y – 7x2y) + ( –2xy2 – 3xy2) Þ A – B = – 4x2y + ( –5xy2) Þ A – B = – 4x2y – 5xy2 Restar A de B nos piden B – A Þ B – A = (7x2y + 3xy2) – (3x2y –2xy2) Þ B – A = 7x2y + 3xy2 – 3x2y + 2xy2 Þ B – A = (7x2y – 3x2y) + (3xy2 + 2xy2) Þ B – A = 4x2y + 5xy2 MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Multiplicación de un Polinomio por un Monomio : Se multiplica cada término de polinomio por el monomio. Ejemplo 1: 12x2 ( – 4x + 12y4 + 16x3)=–48x3 + 144x2y4 + 192x5 Por Ejemplo 2: Multiplicación de Polinomios : Se multiplica cada término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio. Ejemplo 1 : Multiplica (2x + 3)(2x – 5) DIVISIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS DIVISIÓN : Es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo y divisor respectivamente), halla el otro factor (cociente). DIVISOR DE MONOMIOS : Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben en orden alfabético las letras, colocando a cada base un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo con el exponente que tiene el divisor.