FACTORIAL Y NUMERO COMBINATORIO EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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  • factorial de un número Llamamos así al producto que resulta de multiplicar todos los números enteros y positivos consecutivamente desde la unidad hasta el número considerado inclusive ; se denota por : n! ó ó Se lee : factorial de «n» ó «n» factorial. 9!= 362 880 10!=3 628 800 15!=1 307 674 368 000 20!=24 32 902 008 176 640 000 25!=15 511 210 043 330 985 984 000 000 70!=1,19785717... × 10100 450!= 1,73336873... × 101 000 3 249!= 6,41233768... × 1010 000 25 206!= 1,205703438... × 10100 000 100 000!= 2,8242294079... × 10456 573 Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Taylor). Se generalizan a los reales con la función gamma, de gran importancia en el campo de la aritmética. En General: número combinatorio Se define como el número total de grupos que se pueden formar con «n» elementos tomados de «k» en «k», de modo que los grupos se diferencien por lo menos en un elemento. Notación : Se lee : combinación de «n» elementos tomados de k en k, o simplemente combinación de n en k. Ejemplo explicativo: De cuántas maneras se pueden agrupar 6 elementos tomados de dos en dos. Veamos. Sean : Definición: ... uno factorial Por convención : ... cero factorial PROPIEDAD I : Por definición: Ordenando: esta última expresión adquiere importancia cuando se trata de simplificar expresiones , un tanto complicadas que involucran el uso de factoriales ; además n! se puede desarrollar explícitamente según uno lo requiera: Ejemplos: PROPIEDAD Ii : Ejemplo: oBSERVACIÓN : PROPIEDAD III: Ejemplo : observaciónes PROPIEDADES AUXILIARES I): Ejemplos : II) : Ejemplos : III) Descomposición racional de una fracción: Ejemplo : Calcular la suma de la serie: resolución: Descomponiendo cada una de las fracciones: Resulta : semifactorial, cofactorial o cuasifactorial de un número natural La definición de cofactorial de un número entero positivo dependerá de la naturaleza de este , es decir si el número es par o impar Simbología: Lectura : «Semifactorial del número n» Axiomáticamente : : Ejemplos: Para números pares , se tienen : Para números impares , se muestran : También debemos observar que : fórmulas generales del semifactorial a) Si n es un número par : Por lo tanto: Ejemplos : b) Si «n» es un número IMPAR: Multiplicando y dividiendo por Por lo tanto : Ejemplos: Se obtienen : En general: se trata de agrupar «n» elementos tomados de «k» en «k». El número de maneras se obtiene a partir de la fórmula matemática: Donde: n : Es el índice superior, el cual nos indica el número total de elementos. k : Es el índice inferior, el cual nos muestra el número de elementos existentes en cada grupo. Aplicándolo en el ejemplo anterior: Ejemplos: regla práctica En la definición, aplicando la descomposición general : Por lo tanto : Ejemplos: PROPIEDADES: I) Combinaciones complementarias Ejemplos: Estamos observando que para ciertos números combinatorios, esta propiedad, nos permite reducir sus índices inferiores. CONSECUENCIAS: Ejemplos: II) propiedad de la igualdad Debemos tener en cuenta, que las igualdades resultantes, son relaciones mutuamente excluyentes. Es decir, una de ellas es independiente de la otra. Ejemplo: Observar que las ecuaciones no forman un sistema, ya que estas igualdades son completamente independientes. III) suma de combinatorios : Ejemplos: Ejercicio 1: Calcular la suma de la serie: Resolución: Sumando y restando , resulta: IV) degradación de ambos índices : Ejemplos: V) degradación del índice superior : Ejemplos: VI) degradación del índice inferior : Ejemplos:
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