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FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS MÉTODOS Y EJEMPLOS PDF

La factorización es un proceso contrario a la multiplicación, el cual no está sujeta a reglas específicas; su operación depende de la práctica adquirida. En esencia es la transformación de un polinomio en un producto indicado de factores primos, dentro de un determinado campo numérico.
Un polinomio está definido sobre un campo numérico, cuando los coeficientes de dichos polinomios pertenecen al conjunto numérico asociado a dicho campo. Hay tres campos de importancia:
Racional:   ; Real: ;  Complejo:.
Ejemplo:
I), está definido en 
II),está definido en , pero no en.
III); esta definición solo en 


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  • factorización
    Es un proceso mediante el cual, un polinomio se expresa como la multiplicación indicada de factores primos. Para llevar a cabo este proceso se usarán diversos criterios, como:
    * El factor común
    * Agrupación de términos
    * Identidades
    * Aspas
    * Evaluación (Divisores Binómicos)
    factor primo :
    Es aquel que no se puede factorizar más; es decir son aquellos polinomios de grado positivo que no se pueden expresar como una multiplicación de factores de grado positivo.
    Ejemplos :
    ; no es primo, porque se puede expresar como: 
    ; si es primo; porque no se puede factorizar.
    ; si es primo; porque al obtener   , percátese que 3 es de grado cero.
    Se dice que la factorización se realiza en  cuando los factores primos obtenidos presentan únicamente coeficientes enteros; mientras no se indique alguna aclaración la factorización sólo se realizará en .
    Ejemplos :
     Factorizar : 
    Reconociendo una diferencia de cuadrados obtenemos :  
     Factorizar :  
    Diremos: “no se puede factorizar, es primo”; en cambio si el enunciado fuera:
    Factorizar en , entonces: 

    Nótese que la variable no está bajo el signo radical, ambos factores son de primer grado y esto es correcto.
    observación:
    i) Todo polinomio de primer grado es primo
    Por ejemplo: 
    ii) Para     reconocer    si un polinomio es primo en ,no es suficiente con agotar los recursos necesarios ;  a veces se encuentran en un artificio de “sumas y  restas”.
    Por ejemplo:  donde aparentemente no se puede factorizar; cambia 
    si “sumamos y restamos 4x2”
    Así: divisor : Es toda aquella expresión que se halla contenida dentro de otra. El divisor puede o no ser primo. Si queremos encontrar el número de factores primos, el número de factores y el número de divisores de una expresión ya factorizada, se explicará mejor en un ejemplo. Ejemplo: Si se tiene una expresión ya factorizada de la siguiente forma: El número de factores primos: El número de factores: suma de exponentes El número de divisores: el producto de los exponentes aumentado en 1. métodos para factorizar método del factor común : El factor común está contenido en todos los términos de la expresión algebraica a factorizar, con el menor exponente; puede ser monómico o polinómico. i) factor común monomio (fcm) : ejemplo 1 : Factorice: Resolución: Para obtener el FCM, se aplica la regla: “variables comunes afectadas de sus menores exponentes”. Es decir: ejemplo 2 : Factorizar: Resolución: El factor común es: 2x4; de donde: ejemplo 3 Factoriza las siguientes expresiones: Resolución: ii)factor común polinomio (fcp) ejemplo 1 Factorizar: Resolución: El factor común en este caso es: ; de donde: ejemplo 2 Factorice: Resolución: Es evidente que el Extrayendo este factor, resulta: ejemplo 3 Factorice: Resolución: Por simple inspección, se deduce que el Aplicando la regla anterior, se obtendrá: Efectuando dentro del corchete: criterio de agrupación de términos : Se utiliza cuando la extracción del factor común no es directa. Para ello, se tienen que agrupar convenientemente los términos del polinomio, con el objetivo de encontrar dicho factor común. ejemplo 1 Factorice: Resolución: Como son 4 términos, se puede agrupar de 2 en 2, tal como se muestra: Hemos obtenido como Extrayéndolo, resulta: ejemplo 2 Factorizar: Resolución: Desarrollando por productos notables: Simplificando: Agrupando el primero con el tercero y el segundo con el cuarto, se tiene: ejemplo 3 Factorice: Resolución: Como son 6 términos, se pueden agrupar de 2 en 2 ó de 3 en 3. Veamos la primera opción, así: Se observa que el Extrayéndolo, resulta lo siguiente: ejemplo 4 Factorice: Resolución: Si tenemos 9 términos, podemos agrupar de 3 en 3. Tal como se indica: Se observa que el Extrayéndolo, resulta lo siguiente: criterio de identidades a ) diferencia de cuadrados : Para factorizar se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos y se forman un producto de la suma de las raíces, multiplicadas por la diferencia de las mismas. En general. Ejemplos explicativos: Sea: Por lo tanto: Dado: Luego: Se tiene: Directamente, tomando como términos de los factores a descomponer, las raíces cuadradas de los términos propuestos: Factorizando el segundo de los factores: Del mismo modo, el tercer factor: b)trinomio cuadrado perfecto: Es aquel polinomio de tres términos que tiene raíz cuadrada exacta, que se caracteriza porque sus términos extremos son cuadrados perfectos, y el término central es igual al doble de las raíces cuadradas de dichos términos extremos. Forma General: Ejemplos Explicativos: Sea: Por lo tanto: Dado: Por lo tanto: c)suma o diferencia de cubos : En este caso recordamos los productos notables. Forma General: Ejemplos : Sea: Dado: Forma General: Ejemplo: Sea: método de las aspas aspa simple : Se aplica en expresiones trinomias de la forma: Se descomponen en factores los extremos y la suma de los productos en aspa debe ser igual al término central. Es decir, dado: Los factores se toman horizontalmente: ejemplo 1 : Factorizar: i) Descomponer los extremos. ii) Verificar que la suma de productos en aspa sea igual al término central. Verificando: Luego, los factores se forman horizontalmente: ejemplo 2 : Factorizar: Resolución : Ordenando el polinomio y descomponiendo los términos extremos de dicho polinomio, tenemos: ejemplo 3 Factorizar: Resolución : Descomponiendo los términos extremos del polinomio ejemplo 4 Factorizar: Resolución: ejemplo 5 : Factorizar: Resolución: Descomponiendo los términos extremos del polinomio: EJEMPLO 6 : Factorizar: Resolución: Descomponiendo los términos extremos del polinomio: EJEMPLO 7 : Resolución: Siendo el factor común: Se obtiene: Aplicando aspa simple al corchete: Factorizando las diferencias de cuadrados; obtenemos: FACTORIZACIÓN POR DOBLE ASPA Se utiliza para factorizar a los polinomios de la siguiente forma general: El polinomio debe presentar cierto orden para poder factorizarlo. 1) Debe tener 6 términos, si falta alguno de ellos, se reemplaza por ceros. 2) Con respecto al primer trinomio los exponentes centrales deben ser la mitad de los extremos, y en el cuarto y quinto término se repiten los exponentes centrales. FORMA DE FACTORIZAR : 1) Estando ordenado los términos del polinomio, se trazan dos aspas de la siguiente forma: 2) Descomponemos en factores los coeficientes de los términos extremos. Multiplicados en aspa y sumados deben verificar al “cuarto término”. Deben cumplirse que: 3) A continuación descomponemos en factores el coeficiente del tercer término. La primera aspa debe verificar al coeficiente del segundo término y la segunda aspa debe verificar el coeficiente del quinto término. 4) Los factores se obtienen tomando los términos de las aspas en forma horizontal. En conclusión: Luego tenemos: EJEMPLO 1 Factorizar: Resolución: Ordenando el polinomio de acuerdo a las reglas dadas, se tiene: Dado que el cuarto término está verificado, descomponemos en factores el tercer término: Como todos los términos están verificados, entonces: EJEMPLO 2 Factorizar: Resolución: Ordenando convenientemente, se tendría: Dado que el cuarto término está verificado, descomponemos en factores el tercer término: Como todos los términos están verificados, entonces: EJEMPLO 3 Factorizar: Resolución: Se ordenará de acuerdo a la forma general considerando a la tercera variable como si fuera una constante, así: Luego su forma factorizada es: ASPA DOBLE ESPECIAL Será posible aplicar a los polinomios que presentan la siguiente forma general: De manera particular, si tendremos el polinomio de 4to grado. Procedimiento para factorizar : I) Se ordena de acuerdo a la forma general, colocando cero en el lugar del término que falta. II) Se descompone adecuadamente los extremos buscando mediante un aspa simple, aproximarse al término central. Así: Se debe tener (SDT) : Cx2n Se tiene (ST) : Falta: III) Lo que falta se descompone en la parte central buscando aspas simple a ambos lados. IV) Los factores se toman en forma horizontal EJEMPLO 1 Factorizar: Resolución: Descomponiendo en factores los términos extremos: EJEMPLO 2 Factorizar: Resolución: Descomponiendo los extremos: EJEMPLO 3 Factorizar: Resolución: Efectuando y ordenando de acuerdo a la forma general: EJEMPLO 4 Factorizar: Resolución: EJEMPLO 5 Factorizar: Resolución: Ordenando para el aspa doble especial: OBSERVACIÓN: 1) No todos los polinomios de 4to grado se pueden factorizar por doble aspa. 2) Si el polinomio de 4to grado es factorizable por doble aspa, debe observarse si cada factor cuadrático es factorizable. 3) El trinomio: se puede factorizar, si su discriminante es un cuadrado perfecto. FACTORIZACIÓN POR DIVISORES BINÓMICOS Este método se basa en el criterio del teorema del resto: I) Si: P(x) es divisible entre (x – a) entonces II) Si: P(x) es divisible entreentonces Observando en forma inversa: I)Si:; entonces un factor es (x – a) II)Si:;entonces un factor es CASO DE POLINOMIOS MÓNICOS El polinomio mónico se caracteriza porque el coeficiente de su máxima potencia es igual a la unidad. i) Se hallan todos los divisores del término independiente del polinomio P(x) a factorizar; los divisores se consideran con el signo más y menos. ii) Cada divisor con signo (+) o signo (–) se evalúa en P(x), si alguna de las evaluaciones vale cero, hemos encontrado un factor lineal. iii) Se recomienda encontrar una cantidad de ceros igual al grado del polinomio P(x) menos dos. EJEMPLO 1 Factorizar: Resolución: I) Los posibles ceros racionales son Veamos: es un factor II) El otro factor por la regla de Ruffini: Recordar EJEMPLO 2 Factorizar: Resolución: Nótese que el polinomio es de cuarto grado, entonces: I) Los divisores del término independiente “15” son II) Evaluando: A) entonces, un factor es: (x – 1) B) ; entonces, otro factor lineal es: III) Por la regla de Ruffini: El factor cuadrático es más fácil de factorizar, obteniéndose: EJEMPLO 3 Factorizar: Resolución: Si el primer coeficiente es la unidad (polinomio mónico), se trabaja con los divisores del término independiente. Así, al factorizar: ; notamos que es mónico, luego planteamos: Probando: Entonces: EJEMPLO 4 : Factorizar: Resolución: Los divisores del término independiente son: Para ,se anula el polinomio;veamos: Entonces tendrá un factor (x – 2) Luego por Ruffini: Finalmente: EJEMPLO 5 : Factorizar: Resolución: Los divisores del término independiente son: Se anula para: Aplicando Ruffini tres veces: Luego: Finalmente: CASO DE POLINOMIOS NO MÓNICOS : Sea P(x) el polinomio a factorizar: 1°) Se hallan los divisores correspondientes al término independiente de P(x) y los divisores correspondientes al coeficiente de la máxima potencia. 2°) Los divisores a evaluar son los divisores del término independiente más las fracciones que se obtienen al dividir los divisores del término independiente entre los divisores del coeficiente de la máxima potencia. EJEMPLO 1 : Factorizar: Resolución: 1) Los posibles valores que anulan al polinomio son: Luego los posibles valores serán: 2) Probando con: Probando con 3) Dividimos entre Ordenamos y completamos el polinomio, o sea: Aplicando Ruffini, obtenemos: Sabemos que: EJEMPLO 2 : Factorizar: Resolución: Recuerda que: Si no es mónico el polinomio, usaremos opcionalmente: Así al factorizar: Planteamos, luego: Al usar el esquema, una vez agotados los valores enteros: no genera división exacta entonces probamos: Finalmente: EJEMPLO 3 Factorizar: Resolución: Como el polinomio no es mónico se plantea: Para: se anula, entonces tendrá un factor : Luego: EJEMPLO 4 : Factorizar: Resolución: R(x) no es mónico, se plantea: Para: se anula, luego: Finalmente: FACTORIZACIÓN POR ARTIFICIOS Son métodos prácticos que facilitan la resolución de los problemas, tales como: CAMBIO DE VARIABLE : Consiste en transformar, equivalentemente, mediante un cambio adecuado, un problema operativo en otro más simplificado. EJEMPLO 1 Factorizar: Resolución: Formando el desarrollo del cubo de un binomio: Sustituyendo: Resulta como equivalente: Por teoría: Regresando a su variable original, se tiene: Por lo tanto: EJEMPLO 2 : Factorizar: Resolución: Formando la expresión repetitiva , así: Sustituyendo: Resulta: Hemos obtenido un trinomio cuadrado perfecto Regresando: EJEMPLO 3 : Factorizar: Resolución: Efectuando convenientemente el 2do grupo de términos y descomponiendo: Se tendrá: Factorizando (–12) en la demarcación, resulta: Sustituyendo: Se obtiene: (polinomio de Stevin) Es decir: Por lo tanto: Regresando: De nuevo, dos polinomio de Stevin: EJEMPLO 4 : Factorizar: Resolución: Agrupando convenientemente: Haciendo: , se tiene: Por aspa simple: Luego, reponiendo z tenemos: POR SUMAS Y RESTAS (QUITA Y PON) Consiste en sumar y restar simultáneamente una misma expresión o descomponer algún término del polinomio, de tal modo que, una expresión aparentemente no factorizable se transforme en otra, fácilmente. PARA POLINOMIOS DE GRADO PAR Consiste en buscar un trinomio cuadrado perfecto para luego llevarlo a una diferencia de cuadrados. EJEMPLO 1 Factorice: Resolución: Debemos sumar y restar 10x2, así: Descomponiendo la diferencia de cuadrados: Ordenando: EJEMPLO 2 Factorice: Resolución: Sumando y restando 4a2b2, se tiene: Descomponiendo por la diferencia de cuadrados: Ordenando, se tiene: PARA POLINOMIOS DE GRADO IMPAR Luego de sumar y restar un término, se debe agrupar convenientemente. Para esto, será necesario considerar las siguientes equivalencias: EJEMPLO 1: Factorice: Resolución: Restando y sumando x2, se tiene: Extrayendo el , se tiene: Efectuando: EJEMPLO 2 : Factorice: Resolución: Restando y sumando x2, se tiene: Extrayendo el , resulta: Por lo tanto: FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES RECÍPROCAS Las expresiones recíprocas se caracterizan por que los términos de los términos equidistantes de los extremos son iguales. Debemos tener en cuenta lo siguiente: 1) Si la expresión recíproca de grado impar, uno de sus factores es y ese factor estará multiplicado por una expresión recíproca de grado par. 2) Si la expresión es recíproca de grado par los coeficientes equidistantes de los extremos son iguales y el último término es positivo. Ejemplos: Procedimientos para factorizar polinomios recíprocos de grado par: I) Se extrae la parte literal del término central dando lugar a expresiones de la forma II) Se hace el cambio de variable con lo cual se logra disminuir el grado del polinomio en la mitad. EJEMPLO 1 : Factorizar: Resolución: Dado que el grado de P(x) es 4, factorizamos: x2 ; obteniendo: Agrupando los términos equidistantes de los extremos: Haciendo: Con lo cual: Por aspa: Como: ; se tendría: Nuevamente por aspa simple: EJEMPLO 2 Factorizar: Resolución: Se factoriza la parte literal del término central: Hacemos: Reponiendo z :

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