FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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  • FRACCIÓN ALGEBRAICA Una fracción algebraica racional es toda aquella división indicada de dos polinomios denominados Numerador y Denominador donde el grado del denominador es mayor o igual a uno. Donde: N(x) : Numerador D(x) : Denominador Ejemplos: CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES I) SEGÚN EL GRADO DE SUS TÉRMINOS A) fRACCIÓN ALGEBRAICA PROPIA: Es cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador : Ejemplos: B) fRACCIÓN ALGEBRAICA IMPROPIA: Es cuando el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador. Ejemplos: II) DE ACUERDO A SU DENOMINADOR : A) FRACCIONES HOMOGÉNEAS: Son aquellas cuyos denominadores son polinomios idénticos. Ejemplos: b) FRACCIONES HETEROGÉNEAS: Son aquéllas cuyos denominadores no son polinomios idénticos. Ejemplos: RELACIÓN ENTRE FRACCIONES FRACCIONES EQUIVALENTES : Dos o más fracciones algebraicas son equivalentes si tienen el mismo valor numérico para valores arbitrarios atribuidos a sus “Letras”. Ejemplo: FRACCIONES ALGEBRAICAS IRREDUCTIBLES Una fracción algebraica es irreductible si sus términos son polinomios primos entre sí (P.E.S.I.) Ejemplos: SIMPLIFICACIÓN DE UNA FRACCIÓN Simplificar una fracción es transformarla en otra equivalente cuyo numerador y denominador no tengan más factores comunes que la unidad , . La fracción que resulta es irreductible. Esta reducción se lleva a cabo descomponiendo en factores el numerador y el denominador, simplificando, seguidamente, los factores comunes siempre que sean distintos de cero. Ejemplo: Siempre que REGLA DE SIGNOS EN UNA FRACCIÓN ALGEBRAICA Tres signos están asociados a una fracción: el correspondiente al numerador , el del denominador y el de la fracción. Se pueden alterar dos cualesquiera de ellos, simultáneamente, sin que varíe el valor de la fracción. Si a una fracción no se le antepone signo alguno, se sobre entiende que este es positivo (más) Muchas veces la simplificación consiste en un cambio de signo . Ejemplo 1: Ejemplo 2: Resolución: Llevándolo a una suma de fracciones homogéneas: Efectuando directamente los numeradores: OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Para reducir fracciones, debemos efectuar operaciones entre ellas. Para lo cual estableceremos los siguientes algoritmos: I) SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES : Que tienen el mismo denominador es otra fracción cuyo numerador es la suma algebraica de los numeradores de las fracciones dadas, y cuyo denominador es el denominador común. Ejemplos: II) PARA SUMAR Y RESTAR FRACCIONES : De distinto denominador, se transforman éstas en otras equivalentes que tengan un denominador común. El denominador común mínimo (D.C.M.) de varias fracciones es el mínimo común múltiplo (M.C.M.) de sus denominadores. ejemplo 1 : Ejemplo 2 : Reducir : Resolución: Efectuando operaciones básicas: observación: Hemos aplicado el método del aspa, así: Ejemplo : Reducir : Resolución: Aplicando productos notables, se tiene: III) MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA DE FRACCIONES : La operación se efectúa multiplicando numeradores y denominadores entre sí. Ejemplo 1: Ejemplo 2: Reducir: Resolución: Factorizando en el numerador, resulta: Ejemplo 3: Efectuar : Resolución: IV) división de fracciones algebraicas : La operación se efectúa invirtiendo la fracción que hace de divisor y luego se procede como en el caso de la multiplicación: Ejemplo 1: Reducir: Resolución: Luego de invertir el divisor, resulta: Factorizando: Ejemplo 2: Reducir: Resolución: V) una fracción compuesta : Es aquella que tiene una o más fracciones en el numerador o en el denominador. Para simplificarla : I) Se reducen el numerador y denominador a fracciones simples. II) Se dividen las dos fracciones que resultan. Ejemplo: propiedad: Si la fracción: es independiente de “x” e “y” ó tiene un valor constante para todos los valores reales de “x” e “y”. Entonces : Ejemplo 1: Si la fracción algebraica: Asume el valor numérico de 3, para cualquier universo de valores reales para “x” e “y”. De acuerdo a esto, calcular el valor de (m + n + p) Resolución: De acuerdo a la premisa: Luego, por la propiedad, se tiene: Resolviendo : m=13, n =1, p=1 Por lo tanto: m + n + p = 15 fracciones parciales Es una operación de descomposición inversa a la adición de fracciones , permite expresar una fracción propia como la adición de fracciones simples. primer caso: Si el denominador de la fracción a descomponerse presenta factores de primer grado “No Repetidos”, entonces tendrá cada factor de la forma: Ejemplo 1: Expresar: como adición de fracciones. Resolución: Entonces: 5x + 1 = (A + B)x + (2A – B) Luego: A + B = 5; 2A – B = 1 Resolviendo el sistema, resulta: A = 2 y B = 3 Luego se obtendrá: segundo caso : Si el denominador de la fracción a descomponer presenta factores repetidos de primer grado; entonces se escriben tantas fracciones como factores repetidos existen. Si el denominador de la fracción “F” es de la forma: Entonces: Ejemplo 1: Expresar: como adición de fracciones. Resolución: Entonces: Donde: Resolviendo: Luego, se tiene que: OBSERVACIÓN: Si el denominador contiene factores cuadráticos no repetidos de la forma : x2 + bx + c; deberá asumirse «n» fracciones parciales de la forma: Donde A1 , A2 , A3 , ... , An ; B1 , B2 , B3 ,.. ., Bn son expresiones numéricas o coeficientes que se calculan utilizando los criterios de polinomios idénticos (dando valores a sus variables)

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