Álgebra problemas resueltos de secundaria y pre universidad

INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR E IRRACIONALES EJERCICIOS RESUELTOS PDF

INECUACIÓN RACIONAL
Ahora resolvamos la inecuación fraccionaria 
En forma general, multiplicando a ambos miembros por Q2(x) y tener en cuenta que , es decir
Como P(x) son polinomios entonces una inecuación fraccionaria se puede resolver por el método de los puntos críticos como si fuera una inecuación polinomial, teniendo cuidado de la restricción 
Ejemplo:
Resuelva  
Resolución:
Se debe tener en cuenta que , entonces la inecuación que queda, sería equivalente a : 
Observe que x=7 no pertenece al conjunto solución.
INECUACIÓN IRRACIONAL
Es aquella desigualdad en el cual en uno de sus miembros, aparece una expresión irracional.
ejemploS:
Para resolverlos, debemos tener en cuenta el valor del índice de los radicales.
I) SI LOS INDICES SON IMPARES :


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  • Para la resolución de este tipo de inecuaciones no se requiere hacer restricciones a la incógnita. Ejemplo: Resolver: Inecuaciones de grado superior Son aquellas que presentan la siguiente forma general: a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + ... + an > 0 ; (< ; ³ ; £) nÎZZ + Ù n ³ 3 a0; a1; a2; ...; an ® constantes o coeficientes Resolución (Procedimiento) I) Se factoriza el polinomio teniendo en cuenta que todos los factores primos tengan coeficiente principal positivo. II) Se hallan a continuación los puntos críticos, igualando cada factor a cero y éstos se ubican en la recta numérica, guardando su relación de orden. III) Se forma así intervalos, los cuales de derecha a izquierda, poseen un signo comenzando con el signo más y alternando con el signo menos. IV) Si el P(x) ³ 0, se toman los intervalos positivos; si el P(x) £ 0, se toman los intervalos negativos, obteniendo así el intervalo solución. Ejemplo: Resolver: £ 0 Resolución: Factorizando: (x – 1)(x – 2)(x – 3) £ 0 Hallando los puntos críticos:Pc = {1; 2; 3} Ubicando en la recta numérica: Luego P(x) £ 0, tomamos los negativos: x Î < – ¥; 1] È [2 ; 3] A veces se encuentran trinomios: y = ax2 + bx + c, que no son factorizables, entonces se calcula su discriminante. Si: D < 0 Ù a > 0, entonces el trinomio es (+) xÎR, por ello se descarta de la inecuación o simplemente pasa a dividir, esto no altera el sentido de la desigualdad. i) Si encontramos factores de la forma: (ax + b)2n; nÎ Z + estos pasan a dividir o se descartan, pero su punto crítico queda pendiente de si es solución o no. ii) Si encontramos factores de la forma: (ax + b)2n+1; n Î Z + quedará en la inecuación sólo (ax + b). Ejemplo: Resolver: (x2 – 2x + 4)(x + 3)2(x – 7)3(x + 1)(x – 2) ³ 0 Resolución: El trinomio (x2 – 2x + 4) tiene D = – 12 negativo, coeficiente principal positivo \ es (+) x Î R Se descarta o pasa a dividir sin alterar el sentido. - El factor (x + 3)2 se descarta pero su punto crítico x = – 3 cumple con la desigualdad, al final debe estar contenido en la solución. -El factor (x – 7)3 es reemplazado por (x – 7) Luego tendremos:(x – 7)(x + 1)(x – 2) ³ 0 P.C. = { – 1; 7; 2} Ubicando en la recta: Luego: P(x) ³ 0 se toman los (+) más el punto crítico: x = – 3 x Î [ – 1 ; 2] È [ 7 ; +¥> È { – 3} ejercicio : Resolver: RESolución: Dándole una forma adecuada al primer miembro y factorizando: CONJUNTO DE VALORES ADMISIBLES (C.V.A.) Es aquel conjunto que garantiza la existencia del valor de las variables para que una expresión matemática esté bien definida. El C.V.A. se va a considerar respecto a , salvo que se indique lo contrario. Ejemplos: I) , el C.V.A. está dado por todos aquellos valores reales para x, tal que ; es decir II) , el C.V.A. está dado por todos aquellos valores reales para x , tal que el radicando no es negativo , es decir 3 – x > 0 de donde III), el C.V.A.=, ya que una expresión irracional de índice impar está definida para cualquier valor real. IV),entonces C.V.A.= Resolución: Elevando a la quinta, resulta: Transponiendo: Nuevamente elevando al cubo: 1 – x2 < 1 – 3x + 3x2 – x3 Þ x3 – 4x2 + 3x < 0 Factorizando: x(x – 1) (x – 3) < 0 Por lo tanto: II) SI LOS INDICES SON PARES : Para la solución de ests inecuaciones, se debe seguir los siguientes pasos: I)Halle el C.V.A. de P(x) II) Transformar la inecuación en otra equivalente eliminando los radicales y de aquí obtendremos un conjunto solución parcial (Sp). III) El conjunto solución de la inecuación se obtiene intersectando el conjunto solución parcial obtenido con el C.V.A., es decir donde C.S. Conjunto solución de la inecuación. C.V.A. Conjunto de valores admisibles. Sp Conjunto solución parcial obtenido. Ejemplo 1: Resuelva Resolución: Hallando el C.V.A. 3x – 6 0 x 2 Ahora elevando al cuadrado 3x – 6 9 x 5 Intersectando Ejemplo 2: Resolver : Resolución: C.V.A.: 4 – x > 0 4 > x x < 4 ... (a) Luego: Elevando al cuadrado, se tiene: 4 – x < 9 Þ – 5 < x x > – 5 ... (b) Para encontrar el conjunto de valores reales que, satisfagan las condiciones (a) y (b), debemos intersectar dichas relaciones: TEOREMAS : 1) 2) Si 3) Si Þ a = 0 b = 0 Ejemplo 1: Resuelva Resolución: Por teorema : 3x + 4 0 x > 0 3x + 4 < x2 Intersectando tenemos que x > 4 Es decir C.S.= Ejemplo 2: Resuelva Resolución: Por el teorema 2 Uniendo los dos casos tenemos que Ejemplo 3: Calcule (x+y), si Resolución: Por teorema : x – 5 = 0 y – 3 = 0 De donde x + y = 8 Ejemplo 4: Resuelva Resolución: Vemos que siempre es positivo, de donde: Þ x – 2 > 0 x > 2 De donde INECUACIONES COMPUESTAS DE POTENCIAS MÚLTIPLES Y RADICALES SIMPLES : Para resolver inecuaciones algebraicas del tipo: Se utiliza las siguientes propiedades: I) II) III) IV) Ejemplo: Resolver: (x + 4)5 (x – 3)7 (2x – 1)3 > 0 Resolución: Por la Propiedad (III): (x + 4) (x – 3) (2x – 1) > 0 Aplicando puntos críticos: Luego:

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