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INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO DESIGUALDADES FRACCIONARIAS PUNTOS CRÍTICOS TEORÍA EXPONENCIAL Y EJEMPLOS PDF

En el campo de los números reales tenemos una propiedad de orden que se acostumbra designar con el símbolo (<). Estimado lector para 2 elementos cualesquiera   una y sólo una de las siguientes es válida:
a < b  ;     a = b  ;     a > b
ésta afirrnación se llama ley de tricotomía.
Las desigualdades son quizá tan importantes en las aplicaciones de las matemáticas como las ecuaciones. En efecto, en el grado en que nuestro conocimiento del mundo físico se obtiene midiendo (no meramente contando), ese conocimiento se describe por desigualdades.
Si decimos que el diámetro «d» del planeta Venus es de 7700 millas, queremos decir:
7650 < d < 7750
Un momento de reflexión muestra que una medición absolutamente exacta de cualquier cantidad física tal como una distancia, un peso, una velocidad, etc, es completamente imposible; la precisión depende de los instrumentos de medida y tales instrumentos pueden hacerse totalmente para medir dentro de ciertas tolerancias específicas, nunca exactamente.
También veremos después que las desigualdades son esenciales para aclarar conceptos fundamentales como el límite, sobre el cual se construye todo el cálculo. Por estas razones es necesario un buen entendimiento básico de las desigualdades.


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  • DESIGUALDAD
    Es una relación de orden que se establece entre dos números reales que tienen diferente valor.
    Es decir:
    SÍMBOLOS DE LAS RELACIONES DE ORDEN : CLASES DE DeSIGUALDADES De acuerdo a su estructuración matemática, estas pueden ser: A) desigualdad absoluta : Es aquella desigualdad que se verifica para todos los valores reales que se les asigne a sus variables. Ejemplo: 5 > 2 x2 > 0; se verifica B) desigualdad relativa O INECUACIÓN : Es aquella desigualdad que se verifica para un conjunto de valores particulares denominado CONJUNTO SOLUCIÓN, que admite la variable denominada incógnita. Ejemplo: x – 3 > 2 ; se verifica sólo para x > 5 RECTA NUMÉRICA REAL Es una recta geométrica cuya construcción se sustenta en el principio de la correspondencia biunívoca existente entre los elementos del conjunto y los puntos de dicha recta. Estableciendo la biyección, de tal forma que a cada número real se le hace corresponder un único punto de la recta, y para cada punto de la recta sólo le corresponde un único número real. INTERVALO Es un subconjunto del conjunto de los números reales, definiéndose como aquel conjunto de infinitos elementos que representan a todos los números reales comprendidos ente dos extremos, denominados Límite inferior o ÍNFIMO y límite superior o SUPREMO. De lo establecido, existen dos tipos de intervalos: I) intervalo acotado : Se denomina así al intervalo cuyos extremos son números reales (Límites finitos). A su vez, pueden ser: a) Intervalo cerrado: [ ] Es un intervalo acotado en el cual se consideran a los extremos finitos. b) Intervalo abierto: ] [; á ñ Es un intervalo acotado en el cual no se consideran a los extremos finitos. c) intervalo semiabierto : Es un intervalo acotado, en el cual, uno de los extremos es abierto y el otro es cerrado. II) intervalo no acotado : Es aquel intervalo en el cual, por lo menos, uno de los extremos es el límite (+) o (–) a) operaciones con intervalos Dado que un intervalo es un conjunto de números, admite las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento, etc. Sean A y B dos intervalos, se definen y se denotan. I) Unión : II) Intersección : III) Diferencia : IV) Complemento : principios fundamentales de las desigualdades 1) Si ambos miembros de una inecuación se le suma o se le resta una misma cantidad el sentido de la desigualdad no se altera. a) Si: A > B b) Si: A < B 2) Si a ambos miembros de una inecuación se multiplica por una misma cantidad mayor que cero, el sentido de la desigualdad se mantiene. a) Si: A > B b) Si: A < B Si la cantidad por la cual se multiplica es menor que cero, el sentido de la desigualdad se invierte. a) Si: A > B b) Si: A < B 3)El principio anterior se cumple para la división: a) Si: A > B b) Si: A > B 4) Si dos inecuaciones tienen un mismo sentido, se pueden sumar miembro a miembro y el sentido de la desigualdad no se altera. Si: 5) Si: 6) Si: 7) , se cumple 8), se establece la transitividad: Si: a>b b>c Þ a>c 9) , se cumplen: a>b a2n+1 > b2n+1 a>b 10), se cumple: a>b a2n > b2n 11) , se cumple: a>b a2n < b2n 12) , se verifican las relaciones: 13) Si a y b tiene el mismo signo, se cumple: INECUACIÓN DE PRIMER GRADO Es aquella que presenta la siguiente forma: ó SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN : Son todos los valores que satisfacen a la inecuación. La solución se da en forma de intervalos. I) PRIMERA FORMA (ax+b>0) : Si: a > 0, resulta luego, el intervalo solución , será: Si: a < 0, resulta luego, el intervalo solución , será: Ii) SEGUNDA FORMA (ax+b<0 :="" a="" si:=""> 0, resulta luego, el intervalo solución , será: Si: a < 0, resulta luego, el intervalo solución , será: Ejemplo 1: Resolver la inecuación: Resolución: Multiplicando en aspa, resulta: 27(x – 5) > 16x – 36 Efectuando: x > 9. Luego el conjunto solución vendrá dado por el intervalo: Ejemplo 2: Resolver : Resolución: Efectuando las fracciones: INECUACIÓN CUADRÁTICA Forma general: Donde: {a; b; c} De la forma general se obtiene: ax2 + bx + c > 0 ; ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c > 0 ; ax2 + bx + c < 0 La solución de la inecuación depende del primer coeficiente y del discriminante: primer caso : Si: , el polinomio: ax2+bx+c, es factorizable en el campo real, para resolver utilizaremos el método de los PUNTOS CRÍTICOS (los cuales se hallan igualando cada factor a cero, y despejando la variable). Procedimiento: 1) Se factoriza el polinomio. 2) Hallar los dos puntos críticos, luego se ordenan en la recta real en forma creciente. 3) Es indispensable que el primer coeficiente de cada factor lineal sea positivo, por ello se colocan entre los puntos críticos los signos (+) y (–) alternadamente de derecha a izquierda; comenzando por el signo (+). 4) Si tenemos: P(x) = ax2+bx+c < 0 ó P(x) = ax2+bx+c 0 El conjunto solución estará formado por los intervalos donde aparezca el signo (–) En forma análoga: P(x) = ax2+bx+c > 0 ó P(x) = ax2+bx+c0 El conjunto solución estará formado por el intervalo donde aparece el signo (+). Ejemplo 1: Resolver: 5x2 – 13x – 6 < 0 Resolución: Factorizando: Ubicando los puntos críticos en la recta numérica También: P(–2/5) = 0; P(3) = 0 luego, el intervalo solución será: Ejemplo 2 Resolver: 3x2 – 11x + 10 > 0 Resolución: Factorizando: Colocando los valores críticos sobre la recta real. Como P(x) < 0, se toman los intervalos (+) finalmente: SEGUNDO caso : Si:, el polinomio: ax2+bx+c, se transforma a un trinomio cuadrado perfecto de la forma: Ejemplo: Resolver: Resolución: Calculando la discriminante: Resolviendo cada una de las desigualdades: i) (x – 5)2 > 0 se verifica: ii) (x – 5)2 0 se verifica: ; a excepción de: x – 5 = 0 iii) (x – 5)2 < 0 Se observa una inecuación, la cual no se verifica para ningún valor de . iv) (x – 5)2 0 la inecuación sólo se cumple si: x – 5 = 0 TERCer caso : Si:,el polinomio: ax2 + bx + c, se transforma en un cuadrado perfecto más un cierto número real positivo, de la forma: ; k > 0 Ejemplo: Resolver: Resolución: Calculando la discriminante : Luego: Resolviendo cada una de las desigualdades: i) Se verifica: ii) También se verifica: iii) nunca se verifica pues el primer miembro siempre es mayor que cero iv) nunca se verifica TEOREMA DEL TRINOMIO POSITIVO : Si el polinomio: tiene discriminante negativo y (a>0), entonces: Ejemplo 1: Resolver: 3x2 + 7x + 5 > 0 Resolución: Aplicando la propiedad, se tiene: Por lo tanto, el polinomio (3x2+7x+5) es positivo, para cualquier valor real de «x» Finalmente: Ejemplo 2: Resolver: 2x2 – 8x + 11 < 0 Resolución: Aplicando la propiedad se tiene: Esto implica que el polinomio (2x2–8x+11) es positivo, para todo . Luego, la desigualdad. ¡Es absurda! Por lo tanto: Corolario : Si el polinomio: tiene discriminante: ; (a<0 0="" 1:="" 25="" :="" ax2="" bx="" c="" ejemplo="" entonces:="" resolver:="" si:="" teorema="" x2=""> 0 Resolución: Aplicando la propiedad, se tiene: El intervalo solución, será: Ejemplo 2: Resolver: x2 – 8x + 11 > 0 Resolución: Dándole forma: Aplicando la propiedad, se tiene: El intervalo solución, será: Teorema : Si: Ejemplo 1: Resolver: x2 – 36 < 0 Resolución: Aplicando la propiedad, se tiene: El intervalo solución será: Ejemplo 2: Resolver: x2 + 6x – 2 < 0 Resolución: De igual modo: Aplicando la apropiedad se tiene: El intervalo solución, será: INECUACIÓN EXPONENCIAL Teorema : Si: Ejemplo 1: Resolver: Resolución: Efectuando: Por exponente fraccionario, se tiene: Como 0 < 1/2 < 1, aplicamos la propiedad: Þ 9x + 9 < 20x – 40 Luego: 49 < 11x El intervalo solución, será: Teorema : Si: Ejemplo: Resolver: Resolución: Efectuando: Luego: Como 2>1, aplicamos la propiedad: Efectuando: 45x–135 > 28x +56 El intervalo solución es: INECUACIÓN RACIONAL Son aquellas inecuaciones polinomiales de la forma: e inecuaciones fraccionarias de la forma: Para resoverlos, existe un criterio práctico denominado REGLA DE LOS PUNTOS CRÍTICOS, cuyo procedimiento es como sigue: REGLA DE LOS PUNTOS CRÍTICOS I)Se reduce la inecuación racional a la forma: donde P, F y G son polinomios de grado no nulo. II) Se factorizan los polinomios, buscando todos los factores lineales posibles. Para obtener los puntos críticos, se igualan a cero dichos factores y enseguida se despejan los valores de «x»; ubicándolos posteriormente sobre la recta numérica real. III) Se forma así intervalos, los cuales de derecha a izquierda, poseen un signo comenzando con el signo más y alternando con el signo menos. IV) Si el P(x) > 0, se toman los intervalos positivos; si el P(x) < 0, se toman los intervalos negativos, obteniendo así el intervalo solución. Ejemplo 1: Resolver: Resolución: Factorizando: (x–1)(x–2)(x–3) < 0 Hallando los puntos críticos:P.C. = {1; 2; 3} Ubicando en la recta numérica: Luego P(x) < 0, tomamos los negativos. NOTA : A veces se encuentran trinomios y = ax2 + bx + c que no son factorizables entonces se calcula su discriminante. Si y a > 0, entonces el trinomio es (+) , por ello se descarta de la inecuación o simplemente pasa a dividir, esto no altera el sentido de la desigualdad. 1) Si encontramos factores de la forma: (ax+b)2n; estos pasan a dividir o se descartan pero su punto crítico queda pendiente de si es solución o no. 2) Si encontramos factores de la forma: (ax+b)2n+1; quedará en la inecuación sólo (ax+b). Ejemplo 2: Resolver: (x2–2x+4) (x+3)2 (x–7)3 (x+1) (x–2) > 0 Resolución: El trinomio (x2 – 2x + 4) tiene negativo, coeficiente principal positivo por lo tanto es (+) se descarta o pasa a dividir sin alterar el sentido. El factor (x + 3)2 se descarta pero su punto crítico x = –3 cumple con la desigualdad al final debe estar contenido en la solución. El factor (x – 7)3 es reemplazado por (x – 7). Luego tendremos: (x – 7) (x + 1) (x – 2) > 0 P.C. = {–1; 7; 2} Ubicando en la recta: Luego P(x) > 0 se toman los (+) más el punto crítico x = –3 Ejemplo 3: Resolver: x3 < 4x Resolución: Transponiendo: x3 – 4x < 0 Factorizando: x(x+2) (x–2) < 0 Ubicando los tres puntos: –2, 0 y 2 sobre la recta numérica real: Como P(x) < 0, tomamos los intervalos (–), así: RESOLUCIÓN DE INECUACIONES FRACCIONARIAS Ejemplo 4: Resolver: Resolución: Aplicando tanto el numerador, como el denominador a cero (criterio de los puntos críticos y que el denominador debe ser diferente de cero). x + 7 = 0 y x – 5 = 0 Þ x = –7 Þ x = 5 Ubicando los puntos críticos en la recta numérica: Por lo tanto: Ejemplo 5: Resolver: Resolución: Es decir: Aplicando la regla de los puntos críticos y que el denominador debe ser diferente de cero: Observar que, para x = –1 x = 1, la fracción es igual a cero. Luego: Ejemplo 6: Resolver: Resolución: Factorizando: Como: ; se tiene: ; por la regla: Por lo tanto: Ejemplo 7: Resolver: Resolución: Transponiendo: Efectuando: Finalmente:

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