Álgebra problemas resueltos de secundaria y pre universidad

LOGARITMOS EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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  • Dada la siguiente expresión: bx = N...(potenciación) la operación inversa, osea: LogbN = x recibe el nombre de logaritmación. Ejemplos : 22 = 4 Û Log24 = 2 25 = 32 Û Log232 = 5 23 = 8 Û Log28 = 3 26 = 64 Û Log264 = 6 Logaritmo de un número real El logaritmo de un número real y positivo "N", en la base "b", (b > 0 Ù b ¹ 1) es el exponente "x" al cual hay que elevar la base para obtener el número "N", es decir: LogbN = x Û bx = N Donde: x : resultado (logaritmo) b : base del logaritmo, b > 0 Ù b ¹ 1 N : número real y positivo Se denomina logaritmo de un número real positivo al exponente a que se debe elevar una base positiva y distinta de la unidad, para obtener una potencia igual al número propuesto Ejemplos : Log525 = 2; porque: 52 = 25 Log232 = 5; porque: 25 = 32 Log1/39 = – 2; porque: = 9 Log31 = 0; porque: 30 = 1 Logba = c Û a = bc Donde: a > 0 b > 0 ; b ¹ 1 Log 81 = 4 Û 81 = 34 En general, si se cumple que: xy = z Tendremos que: y = Logxz. Es decir, que la operación de extraer logaritmos, también llamada logaritmación es una operación inversa de la potenciación, puesto que mientras en la potenciación se trataba de encontrar un número llamado potencia, conocidas la base y el exponente, en la logaritmación se trata de hallar el exponente conocidas la base y la potencia. En la práctica son dos los sistemas de logaritmos más utilizados a saber, el sistema de logaritmos vulgares cuya base es 10 y fueron descubiertos por el matemático inglés Henry Briggs y el sistema de logaritmos naturales o neperianos descubiertos por el matemático escocés John Neper cuya base es el número irracional: e » 2,7182... Cuando se emplean logaritmos vulgares se acostumbra omitir el subíndice 10. Así por ejemplo, tendremos que si : 100 = 1, escribiremos: log1 = 0 Ûlog101 = 0 101 = 10, escribiremos: log10 =1Ûlog1010 = 1 102 =100, escribiremos: log100 = 2Û log10100 = 2 103 =1 000, escribiremos: log 1000 = 3 Û log101000 = 3 Cuando se emplean logaritmos neperianos, la notación será la siguiente: LnN = logeN Ejemplos: Lne = logee = 1 Ln 5 = loge5 Ln 7 = loge7 APLICACION : Calcule "x" en la ecuación: Log2(x2 + 7x) = 3 Resolución: APLICACION : Resolver: Log( – x – 1)(2x2 – x + 1) = 2 E indicar el conjunto solución. Resolución: De la definición: Log( – x – 1)(2x2 – x + 1) = 2 Û ( – x – 1)2 = 2x2 – x + 1 Efectuando: 0 = x2 – 3x Ahora tenemos que: x = 0 v x = 3 Pero base de logaritmo = – x – 1 > 0 Luego, no hay solución. Identidad fundamental De la definición, se desprende que: ; N > 0 ; b > 0 Ùb ¹ 1 Ejemplos: * * blogba = a * * EjeRCICIO : Efectuar: Resolución : APLICACION : Resolver: xlogx3x–2 = 27 ResoluciOn: Tenemos que: xlogx 3x–2 = 27 Entonces: 3x–2 = 33 Luego: x – 2 = 3 Þ x = 5 APLICACION : Resolver: Resolución: log3 4 log 4 34–3x = – 8 log 3 3 4–3x = – 8 4 – 3x = – 8 Þ x = 4 Propiedades generales de los logaritmos I) Logb1 = 0 ; Logbb = 1 donde b>0 ; b ¹ 1 Ejemplos: log51 = 0 ; log31 = 0 ; Ln1 = 0 log33 = 1 ; Lne = 1 ; Ln(e+2) (e+2) = 1 II) Dados: A, B Î R+ , b > 0 Ù b ¹ 1 LogbAB = LogbA + LogbB Ejemplos: Log315 = Log35 +Log33 Log23 + Log25 + Log22 = Log230 III) Ejemplos: Log25 =Log210 – Log22 IV) Ejemplos: Log381 = Log334 = 4Log33 = 4 Log21024 = Log2210 = 10Log22 = 10 Nota: De aquí se desprende que: Ejemplos : V) Ejemplos: VI) Corolario: Ejemplos: VII) Propiedad del cambio de base: Ejemplo: VIII) LogBA . LogDB . LogED = LogEA Corolario: Ejemplos: Log25.Log72.Log37.Log253 = log255 = Log37.Log75.Log59 =Log39 = 2 Log57 = Log23 = IX) Ejemplos: Cologaritmo : Se define el cologaritmo de un número "N" positivo en una base dada "b" positiva y diferente de la unidad, como el logaritmo de la inversa de dicho número en esa misma base. Ejemplos: Antilogaritmo El antilogaritmo de un número real en una base dada es igual al número que resulta de elevar la base al número. Ejemplos: Antilog23 = 23 =8 Antilog25 = 25 = 32 Propiedades: i) Antilogb(LogbN) = N ; N > 0 Ù b > 0 Ù b ¹ 1 ii) Logb(Antilogbx) = x ; x Î R Ù b > 0 Ù b ¹ 1 ECUACIÓN LOGARíTMICA Es aquella ecuación transcendente donde , por lo menos , una incógnita está afectada del operador logarítmico . EJEMPLOS : PROCEDIMIENTO EN LA RESOLUCIÓN : Sea la ecuación : I) Debemos garantizar la existencia de los logaritmos , para ello debemos analizar la base y las expresiones P y Q que depende de la incógnita, es decir , debemos hallar los valores de la incógnita que satisfagan lo siguiente . II) Hallamos los posibles valores de la incógnita haciendo : P= Q ...(II) III) Finalmente, las soluciones de la ecuación lo encontrarás intersectando los valores obtenidos en (I y II) : EJERCICIO : Resolver : A) {0; 4} B) 3 C) 5 D) 4 E) 7 Resolución : II) Igualando los argumentos : III) Finalmente : RPTA: ‘‘C’’ INECUACIÓN LOGARITMica Esta inecuación se caracteriza por tener al menos una incógnita efectada del operador logarítmico . ejemplos : PROCEDIMIENTO EN LA RESOLUCIÓN : Sea la inecuación : I)Garantizamos la existencia de los logaritmos, por definición se debe cumplir : II) Dependiendo del valor de la base , pueden presentarse dos casos : PRIMER Caso : Si : Donde : f(x) = Log a x SEGUNDO Caso : Donde : f(x) = Log a x III) El conjunto solución se obtiene intersectando los valores obtenidos en y . Caso particular : Sea A positivo : Si : a > 1 A > 1 Si : 0 < a < 1 A B)[2;3] C)[–2;3> D)<–2;3] E) resolución : II)Luego como las bases son menores que 1,entonces: III) De : RPTA: ‘‘B’’ Función exponencial Sea el número real "a", tal que: a > 0Ùa ¹ 1 A) Base: a > 1 Si: expa es estrictamente creciente. Del gráfico: B) Base: 0 < a < 1 Si: expa es estrictamente creciente. Del gráfico: Función logaritmo Una función logaritmo se define como el conjunto de pares ordenados (x,y) / y = Logbx donde: x > 0Ùb > 0Ùb ¹ 1. Domf = R+ Ù Ranf = R Es decir:f ={(x,y)/f(x) =Logbx ; x >0Ùb ¹ 1} Veamos dos casos: A) f(x) = Logbx ; x > 0 Ù b > 1 Del gráfico: si: Logbx2 > Logbx1 Û x2 > x1 B) f(x) = Logbx ; x > 0 Ù 0 < b < 1 Del gráfico: si: Logbx1 > Logbx2 Û x1 < x2 Desigualdades logarItmicas Si: Logbx1 >Logbx2 Ù b > 1 Þ x1 > x2 > 0 Si:Logbx1 >Logbx2 Ù 0 2 Þ x > 22 Þ x > 4 Log3x < 4 Þ x < 34 Þ 0 < x < 34

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