PROGRESIONES ARITMÉTICAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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  • Decimos que una sucesión de números están en progresión aritmética (P.A.) cuando cada uno de ellos es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón (r) de la progresión. SUCESIÓN Es un conjunto de números que aparecen ordenados. Estos números se obtienen de acuerdo a una Ley de formación. Generalmente, la sucesión se presenta mediante: a1 , a2 , a3 , a4 , ... Si la sucesión está dada por: an = 3n2 – 7 ; n ³ 1 Ley de formación n = 1 Þ a1 = 3(1)2 – 7 = – 4 n = 2 Þ a2 = 3(2)2 – 7 = 5 n = 3 Þ a3 = 3(3)2 – 7 = 20 n = 4 Þ a4 = 3(4)2 – 7 = 41 La sucesión es: – 4 , 5 , 20 , 41 , ... · PROGRESIÓN ARITMÉTICA (P.A.) Son aquellas sucesiones en las cuales se cumple que cualquier término, después del primero, es igual al anterior más una cantidad constante llamada Razón aritmética o diferencia. EjemploS : 3; 7; 11; 15; ... 8; 2; – 4; – 10; ... a, a + r, a + 2r, a + 3r, ... NOTACIÓN Las progresiones aritméticas, llamadas también progresiones por diferencia, se representan de la siguiente manera: ¸ a1 ; a2 ; a3 ... an , a3, ....., an } P.A. de “n” términos donde: r = an – a(n - 1) La razón (r) se encuentra restando cualquier término menos su inmediato anterior. - Si: r > 0 Þ la progresión es creciente. - Si: r < 0 Þ la progresión es decreciente. Donde: a1 Þ Primer término an Þ Último término n Þ Número de términos r Þ Razón Aritmética CLASES : Una progresión aritmética puede ser: * Creciente , si: r > 0 * Decreciente , si: r < 0 * Trivial , si: r = 0 PRINCIPALES FÓRMULAS - Término enésimo (an) an = a1 + (n – 1)r Ejemplo 1 : Hallar el vigésimo término de: 22; 29; 36; 43; ... Resolución: Datos: n = 20; a1 =22; r = 7 Luego : an = a1 + (n – 1)r a20 = 22 + (19)7 Þ a20 = 22 + 133 = 155 Ejemplo 2 : Dada la P.A. ¸ 4 ; 7 ; 10 , ... Calcular el décimo término. Resolución: Datos: a1 = 4 ; r = 3 (creciente) ; a10 = ? Luego: an = a1 + (n – 1)r Reemplazando: a10 = 4 + 9(3) Þ a10 = 31 Número de términos (n) : n = + 1 Ejemplo 1 : Hallar el número de términos de: 18; 21; 24; 27; ...; 1 011 Resolución: Datos: an = 1 011; a1 = 18; r = 3 Luego: n = + 1 = + 1 Þ n = 332 Término central( ac ): ac = Ejemplo 1 : Hallar el término central en la P.A.: (11 – n); (2n – 1); (9n + 3) Resolución: Datos: a1 = 11 – n; an = 9n + 3 Luego: ac = Þ 2n – 1 = Þ n = – 4 Finalmente la P.A. sería: 15; – 9; – 33 Þ ac = – 9 Ejemplo 2 : De la siguiente P.A. de 21 términos ¸ 2 , 4 , 6 , ... , 42 hallar el término central. Resolución: Datos: a1 = 2 ; an = 42 ; r = 2 (creciente) ; ac = ? Usando: ac = Reemplazando: ac = Suma de los “n” términos (Sn) : Sn = n También se usa: Sn = ac . n ; ac : Término central Se deduce que : Sn = n Ejemplo 1 : Calcular: S = 28 + 32 + 36 + ... + 92 Resolución: Datos: a1 = 28; an = 92; r = 4 Calculando “n”: n = + 1 = 17 Calculando “S”: S = 17 = 1 020 Ejemplo 2 : Calcular : S = 5 + 8 + 11 + ... (20 términos) Resolución: Datos : a1 = 5 ; n = 20 ; r = 3 (creciente) Usando : Sn = Reemplazando:Sn = Þ Sn = 670 Términos equidistantes : En toda P.A. la suma de dos términos equivalentes de los extremos nos da una misma cantidad. MEDIOS ARITMÉTICOS O DIFERENCIALES : Se llaman así a los términos de una progresión aritmética, comprendidos entre los términos extremos así: INTERPOLACIÓN DE MEDIOS ARITMÉTICOS : Interpolar "m" medios aritméticos entre los números "a" y "b" , es formar una P.A. cuyo primer término es "a" , el último "b" y el número de términos "m+2". Para poder interpolar se debe calcular la razón de interpolación. Así, del esquema : Se obtiene la razón de interpolación: Ejemplo: Interpolar 4 medios aritméticos entre 5 y 20. Resolución: Datos : a = 5 ; b = 20 ; m = 4 Calculando la razón de interpolación: r = Interpolando :
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