Álgebra problemas resueltos de secundaria y pre universidad

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF

Términos equidistantes :
En toda P.G. limitada el producto de dos términos equidistantes de los extremos nos da una misma cantidad.
Medios Geométricos o Proporcionales
Se llaman así a los términos de una progresión geométrica, comprendidos entre los términos extremos.
Así:   


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  • Interpolación de Medios Geométricos
    Interpolar "m" medios geométricos entre los números "a" y "b" es formar una progresión geométrica cuyo primer término es "a", el último "b" y el número de términos es "m+2". Para poder interpolar se debe calcular la Razón de Interpolación.
    Son aquellas sucesiones en las cuales cualquier término, después del primero, es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada Razón Geométrica o cociente. Ejemplos: 1; 2; 4; 8; ... – 1;– 3;– 9;– 27; ... a, aq, aq2, aq3, ... Decimos que una sucesión de números están en progresión geométrica (P.G.) cuando cada uno de ellos es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada razón (q) de la progresión. NOTACIÓN : Las progresiones geométricas, llamadas también progresiones por cociente, se representan de la siguiente manera: ÷÷ t1 : t2 : t3 : .......... : tn Donde : t1 Þ Primer término tn Þ Último término n Þ Número de términos q Þ Razón geométrica; q ¹ 0 O también : , a3, ........., an } P.G. de “n” términos donde: q = La razón (q) se encuentra dividiendo cualquier término entre su inmediato anterior. Si: q > 1 Þ la progresión es creciente. 2; 4; 8; 16; ... (q = 2) Si: 0 < q < 1 Þ la progresión es decreciente. 9; 3; 1; ; ... (q = ) Si: q < 0 Þ la progresión es oscilante 1; – 3; 9; – 27; 81; ...... (q = – 3) Clases: Una progresión geométrica puede ser: * Creciente , si: q > 1 * Decreciente , si: 0 < q < 1 * Oscilante , si: q < 0 siempre que: t1 > 0 Principales Fórmulas Término enésimo (an) : an = a1.qn – 1 ó tn = t1 . qn – 1 Ejemplo 1 : Hallar el doceavo término en: Resolución: Datos: a1 = 1 / 729 ; q = 3; a12 = ? Luego: an = a1.qn – 1 = .311 Þ a12 = = 35 Þa12 = 243 Ejemplo 2 : Hallar el quinto término de: ¸¸ 4 : 12 : 36 : ... Resolución: datos: t1 = 4 ; q = 3 (creciente) ; t5 = ? luego: tn = t1 .qn–1 Reemplazando : t5 = 4×35–1 Þ t5 = 324 Término central ( tc ) : Si "n" es impar ó tC = = = = 16 Ejemplo : A partir de la P.G. : ¸¸ 2 : 4 : 8 : 16 : ... : 512 Hallar el término central. Resolución: datos: t1 = 2 ; tn = 512 ; n = 9 (impar) Como piden término central: Reemplazando : Þ tc = 32 Producto de términos (P) : Ejemplo : Hallar Resolución: De acuerdo a fórmula: ÞP = 255 Suma de los “n” términos de una P.G. (Sn) Ejemplo: Calcular: S = 5 + 52 + 53 + ... + 517 Resolución: Datos: a1 = 5; q = 5; S17 = ? Luego: Sn = a1 = 5 NOTA: El número de términos es limitado. Ejemplo : Hallar : S = 2 + 6 +18 + ..... (30 términos) Resolución: DATOS : t1 = 2 ; q = 3 ; n = 30 ( limitado) USANDO : Þ S = 330 – 1 Suma de los infinitos términos o suma límite (SL) : SL = ; 0 < q < 1 Cuando se deben sumar los términos de una P.G. que cumpla con las siguientes condiciones: an Þ 0 (El último término se hace muy pequeño) n Þ ¥ (Número ilimitado de términos) ½q½ < 1; q¹0 ( – 1< q < 0 Ú 0 < q < 1 ) NOTA: El número de términos es ilimitado. Ejemplo: Calcular: S = + + + ... ¥ Resolución: Datos: a1 = ; q = ; SL = ? Luego: SL = = Þ SL = Así, del esquema: Se obtiene la razón de interpolación: Ejemplo: Interpolar 3 medios geométricos entre 5 y 80. Resolución: DATOS : a = 5 ; b = 80 ; n = 3 Calculando la razón de interpolación: Interpolando:

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