Álgebra problemas resueltos de secundaria y pre universidad

SISTEMA DE ECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS PDF

Se llama así al conjunto de ecuaciones lineales con dos o más incógnitas, las cuales pueden verificarse para algunos valores asignados a sus incógnitas o tal vez nunca se verifique.
Ejemplo :
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES :
Es una colección de números que verifican en forma simultánea a todas las ecuaciones de dicho sistema.
Ejemplos:
El par ordenado (5;–1) es solución del sistema:
La terna ordenada (1;2;3) es solución del sistema:

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  • CONJUNTO SOLUCÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES : Es el conjunto S de pares, ternas, cuaternas, etc. de valores que asumen las incógnitas de las ecuaciones, que tienen la propiedad de verificar simultáneamente a las mismas. Del sistema : Þ El conjunto solución es : S = {(1;2} Del sistema : Þ El conjunto solución admite infinitos pares ordenados en su extensión. Veamos: S = {(3;1;–1),(3;0;0),(3;2;–2),......} NOTA : El conjunto solución de un sistema lineal que no presenta solución es el conjunto nulo o vacío, es decir: C.S.={ } ó C.S.= SISTEMAS EQUIVALENTES : Son aquellos sistemas de ecuaciones polinomiales que teniendo formas diferentes, aceptan el mismo conjunto solución. Por ejemplo : Los sistemas de ecuaciones: Son equivalentes, ya que ambos se verifican para un mismo conjunto solución, el cual es: S = {(3;2)} CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMA DE ECUACIONES De acuerdo al número de elementos de su conjunto solución S. Estos pueden ser : I) SISTEMAS COMPATIBLES : Son aquellos que aceptan por lo menos un elemento en su conjunto solución. Debido a esto, se subdividen en: I-1) SISTEMAS COMPATIBLES DETERMINADOS: Si admiten un número FINITO de elementos en su conjunto solución. Ejemplo: El sistema : x + y = 6 x – y = 2 Es compatible, su solución es : x = 4 ; y = 2 I-2) SISTEMAS COMPATIBLES INDETERMINADOS: Si admiten un número INFINITO de elementos en su conjunto solución. Ejemplo: El sistema mostrado 3x – 4y – 9z = 2 x + 2y – 3z = 4 Admite un conjunto solución de infinitos elementos, el cual es: S = {(2;1;0),(5;1;1), (–1;1;–1)....} I) SISTEMAS INCOMPATIBLES : Son aquellos que NO aceptan elemento alguno en su conjunto solución, o en todo caso, su conjunto solución S, es el vacío Ejemplo: El sistema : x + 3y = 10 x + 2y = 13 Es incompatible, por que no hay ningún par de valores de «x» e «y» que verifique ambas. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES El método que mayormente se utiliza es el denominado método algebraico que consiste en realizar transformaciones lineales con las ecuaciones del sistema para eliminar progresivamente las incógnitas. La forma en que se lleva a cabo dicha eliminación genera 4 procedimientos. I) Sustitución II) Igualación III) Reducción IV) Regla de Cramer SISTEMA DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS : Forma normal: a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 donde : «a1», «a2», «b1», «b2», «c1» y «c2»; son números reales I) Método de Sustitución : Se resume en los siguientes pasos: a) Reducir el sistema a su forma normal. b) En una ecuación, suponiendo conocida una incógnita, hallar el valor de la otra (esta operación se llama despejar una incógnita). c) Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuación del sistema, obteniendo así una ecuación con una incógnita. d) Resolver la ecuación obtenida. e) Sustituir la solución obtenida en la expresión de la otra incógnita. Ejemplo 1 : Resolver : 5x – 2y = 4 ... (I) 3x + y = 9 ...(II) Resolución : Si en la segunda ecuación suponemos conocida la incógnita «x», obtenemos: y=9 – 3x, y la solución general de esta ecuación está dada por el par {x; 9 – 3x}. Si ésta fuera también solución del sistema, sustituida en la primera ecuación tendrá que verificarse la igualdad : 5x – 2(9 – 3x) = 4 Obtenemos así una ecuación de primer grado con una incógnita, que podemos resolver fácilmente. 5x – 18 + 6x = 4 Þ 11x = 22 Þ x = 2 Si ahora sustituimos el valor de «x» en (II), podemos hallar el correspondiente valor de «y» : y = 9 – 3 [2] = 9 – 6 = 3 La solución del sistema vendrá dada por el par {2;3} Ejemplo 2 : Resolver el sistema: RESolución: De despejamos a la incógnita "x" : x = 12 – 2y Este resultado lo reemplazamos en : Este valor se reemplaza en o en y obtenemos el valor de "x": II ) Método de Igualación : Se despeja una misma variable en ambas ecuaciones, luego se igualan ambos resultados. Podríamos resumir este método de igualación con los siguientes pasos: a) Reducir el sistema a su forma normal. b) Despejar en las ecuaciones la misma variable. c) Igualar las dos expresiones de la variable despejada. d) Resolver la ecuación obtenida. e) Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las expresiones de la otra incógnita. Ejemplo 1 : Resolver el siguiente sistema: x+3y = 10 ...(I) ...(II) Resolución : Al aplicar este método también conviene observar cuál es la incógnita que más fácilmente se despeja en las dos ecuaciones, en este caso es «x». Se tiene así: De (I) : x = 10 – 3y ... (a) De (II): 2x = 1–5/4y Osea: ...(b) Igualamos los segundos miembros de (a) y (b); es decir : Se resuelve la ecuación en «y», que hemos obtenido quitando el denominador 2, se tiene: Efectuando la operación indicada en el 1er. término: Es decir : Osea : De donde : Þ –y = –4 Luego : y = 4 Sustituimos «y» por su valor 4, en la expresión (a) o en la (b). En nuestro caso es más cómodo en la (a). Así resulta : Es decir : x = 10 – 3(4) Osea : x = 10 – 12 Þ x = –2 Luego la solución es : {–2;4} Ejemplo 2 : Resolver el sistema: Resolución : Luego igualando ambos resultados: Reemplazando el valor de "x" en o en tenemos: III) Método de Reducción o Eliminación En este método, el objetivo es eliminar una de las incógnitas sumando ambas ecuaciones. Este método llamado también de eliminación, se resume en los siguientes pasos: a) Reducir el sistema a su forma normal. b) Multiplicar los dos miembros de las dos ecuaciones por ciertos números, de tal forma que los coeficientes de una incógnita sean opuestos. c) Sumar las dos ecuaciones miembro a miembro. d) Resolver la ecuación obtenida. e) Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales y hallar la otra incógnita. Ejemplo 1 : Resolver : 2x – 3y = 5 3x + 4y = 7 Resolución: Para eliminar «y»,basta multiplicar la primera ecuación por 4 y la segunda por 3, y sumar ordenamente. Para eliminar «x», podemos multiplicar la primera ecuación por –3 y la segunda por 2, y como tiene igual signo, cambiamos de signo a todos los términos de la primera: ; la solución es: Ejemplo 2 : Resolver el sistema: Resolución : Si sumamos ambas ecuaciones no se elimina ninguna incógnita, así que multipliquemos por 2 la ecuación . Así obtenemos: y = 5 IV) ESTUDIO DEL SISTEMA LINEAL DE 2 INCOGNITAS O REGLA DE CRAMER : Los valores de las incógnitas «x» e «y» del sistema lineal adjunto: a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Se obtiene a partir de: Donde los determinantes se definen así: Ejemplo : Resolver el sistema lineal: 2x + 5y = 16 7x – 3y = 15 Resolución: Calculemos por separado los determinantes: Por Cramer se tiene: Por lo tanto, el conjunto solución será: V) ESTUDIO DEL SISTEMA LINEAL DE 3 INCOGNITAS O REGLA DE CRAMER : Los valores de las incógnitas «x», «y» y «z» del sistema lineal adjunto : a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 Se obtienen a partir de : Donde los determinantes , se definen así : Ejemplo: Resolver el sistema lineal: 3x + 2y + z = 14 4x – y + 2z = 12 x + 5y – 3z = 10 Resolución: Mostrando por separado los determinantes y calculándolos por la regla de la estrella: Por Cramer, se tiene: Luego, el conjunto solución será: S = {(3; 2; 1)} ANÁLISIS DE LOS SISTEMAS DE 2 INCOGNITAS : Analizando se deduce lo siguiente: I) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO: Si el sistema lineal admite SOLUCIÓN ÚNICA. Condición : Se deduce que : II) SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO: Si el sistema lineal adminite INFINITAS soluciones : Condición : Se deduce que : III) SISTEMA INCOMPATIBLE : Si el sistema lineal NO admite solución alguna. CONDICIÓN : Se deduce que :

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