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EL TEOREMA DEL RESTO EN LA DIVISION DE POLINOMIOS PROBLEMAS RESUELTOS PDF

TEOREMA DEL RESTO - RESIDUO O DE DESCARTES Permite calcular el resto, sin necesidad de efectuar la operación de la división. Se emplea por lo general para divisiones de polinomios de cualquier grado entre divisores de la forma: , o cualquier otra expresión transformable a ésta. 
Lema o enunciado de Descartes: Dado un polinomio P(x) como dividendo y un divisor de la forma: . Para calcular el resto en forma directa, se iguala el divisor a cero, se despeja la variable y ésta se reemplaza en el dividendo.
***
Teorema del Resto
Este método se emplea para calcular el residuo en forma directa, sin necesidad de efectuar la división. Se emplea cuando el divisor es de la forma ax ± b o transformable a ella.
Procedimiento
1)Se iguala el divisor a cero, encontrándose un valor de la variable.
2)El valor encontrado se reemplaza en el dividendo, obteniéndose un resultado el cual será el residuo.
Ejemplo 2: Calcular el residuo de dividir: x3+2x2-x+2 entre 2x-1
Resolución:



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  • Ejemplo 3: Calcula el residuo de dividir: x5 - 8x3 + 4x2 - 5 entre x - 2
    Resolución: 2 Igualamos el divisor a cero: x - 2 = 0 x = 2 2 El valor de “x” se reemplaza en el dividendo: Dividendo = x5 - 8x3 + 4x2 - 5 Residuo (R) = (2)5 - 8(2)3 + 4(2)2 - 5 = 32 - 8(8) + 4(4) - 5 \ R = 32 - 64 + 16 - 5 = -21 Ejemplo 4: Calcula el resto de dividir: 9x3 + 3x2 + x - 1 entre 3x - 1 Resolución: 2 Igualamos el divisor a cero: 3x -1 = 0 Þ 3x = 1 Þ 2 El valor de “x” se reemplaza en el dividendo Dividendo = 9x3+ 3x2 + x - 1 Residuo (R) = = \ R = = cero Ejemplo 5: Calcula el valor de “m” para que x3- 5x2+3x -12m sea divisible por x - 2 Resolución: Primero, calculamos el residuo de la división en el procedimiento ya señalado, igualando a cero al divisor, para que se cumpla la condición de divisibilidad. Divisor = x - 2 Þ x - 2 = 0 Þ x = 2 Dividendo = x3 - 5x2 + 3x - 12m Residuo (R) = 23 - 5(2)2 + 3(2) - 12m = 8 - 20 + 6 - 12m = -6 - 12 m De donde: -6 - 12m = 0 Þ -12m = 6 Þ Ejemplo 6: Calcula el residuo de dividir: (a+b)2 entre a - b Resolución: 2 Hallamos el valor de “a” que anula el divisor: a - b = 0 a = b 2 Para calcular el resto, reemplazamos este valor de “a” en el dividendo: Dividendo = (a+b)2 Residuo (R) = (b+b)2 = (2b)2 = 4b2 Ejercicio 1 Hallar el residuo de las divisiones siguientes, empleando el teorema del Resto: a) 3x3 + 4x2 - 5x - 7 entre x + 2 b) 2x4 - 10x2 - 5x - 4 entre x - 3 c) x4 - y4 entre x + y d) x8 + 2x6 - 4x4 - 3x3 + 4x + 4 entre x2 - 1 e) 4x5 + 5x3 - 5x2 + 7 entre 2x + 1 f) x3 +2ax2 - 5a3 entre x+ 2a g) x12 + 1 entre x + 1 h) x6 + 3x4 - 4x3 + 2x2 + 8x + 5 entre x2 + 1 i) x3 +4ax2 - 5a2x + 4 entre x + a j) x4 - 2ax3 + 2ax2 - 10a3 entre x - 3a

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