FUNCION DEFINIDA A TROZOS O POR PARTES EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS

FUNCIONES A TROZOS O SECCIONADAS-Hasta ahora usted ha estudiado algunas funciones tales como la función lineal, cuadrática, seno y coseno; además, sabe que el dominio de ellas son todos los números reales, pero en el caso de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante hay números reales que no están en sus dominios, porque hay una restricción de tipo algebraico, que tiene que ver con sus definiciones. Por ejemplo, 0 no pertenece al dominio de la cosecante porque por definición csc x = se1n x y csc0 1 0 10 = = sen no está definido. En este apartado aprenderemos a formar nuevas funciones con trozos de gráficas de funciones ya conocidas, es decir, restringiendo el dominio de éstas construiremos otras de mayor interés práctico. Si el dominio de una función f se restringe, la función resultante se llama restricción de f. Ejemplo: definida por es una restricción de la función f : con la misma ley de asignación. Grafique f (x) = x2 − 2 para x [−2; 1) . La gráfica de esta función es una parte de una parábola cuyo vértice es (0; –2). Utilicemos los valores de la tabla de la izquierda para trazar su gráfica. Observe que –2 está en el dominio de f, pero 1 no, esto significa que el punto (1; –1) no está en su gráfica y se representa con un círculo sin rellenar. x y = x2 – 2 –2 2 –1 –1 0 –2 1 –1 Recuerde Ejemplo 1 Solución (–2; 2) (–1; –1) (1; –1) (0; –2) 2 y 1 –1 –2 –1 –3 –2 1 2 x (x) = x2 −f 2 f : [0; 10) f (x) = x3 − 5 El recorrido de la función es el intervalo [–2; 2 ]. La función es creciente en el intervalo (0; 1) y decreciente en (–2; 0). Recuerde, siempre que dibuje un trozo de una gráfica debe ubicar los puntos extremos, esto es, si el dominio restringido de f es el intervalo [a; b) ubique (a; f(a)), y (b; f(b)); en el primero pondrá un círculo relleno porque el intervalo es cerrado en a y en el segundo un círculo vacío porque el intervalo es abierto en b. Trace la gráfica de ( ) 12 1 f x = x + con 1 x < 8 . Encontremos los valores de la función f en x = 1, 4, 8 (tabla de la izquierda), ubiquemos en el sistema de coordenadas los puntos encontrados y unámoslos con una línea. 1. ¿Cuál es el dominio de f ? ¿es esta función creciente en todo su dominio? 2. ¿El punto (0; 1) pertenece a la gráfica de f ? 3. ¿La gráfica de f intercepta al eje y? ¿intercepta al eje x? ¿cuál es el recorrido de la función? Ejemplo 2 Solución x y 5 (8; 5) 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 () 1 1 2 f =+xx (1; 32) (4; 3) 1 4 3 8 5 x 12 1 y = x + 3 2 Grafique f (x) = −2 si x [8; + ). Sabemos que f es una función constante, porque para cualquier elemento x en su dominio su valor es –2. En este caso, por el tipo de intervalo en el que está definida la función, solo ubicaremos el punto extremo izquierdo (8; –2) y otro punto con abscisa mayor que 8 (tabla de la izquierda). La función con la misma ley de asignación del ejemplo anterior y con dominio los números reales tiene como gráfica una recta con pendiente 12 , por lo tanto es creciente y además pasa por (0; 1). 4. Trace la gráfica de g : definida por ( ) 12 1. g x = x + Encuentre la pendiente de g utilizando pares comunes a f y g. ¿Qué características comunes tienen estas dos funciones? 1. ¿Cuál es el recorrido de f ? ¿es f creciente? ¿es decreciente? 2. Encuentre un punto (x; y) de la gráfica de f, con abscisa x un número irracional. ¿Cuál es el valor de y para este punto? 3. ¿Es posible encontrar un punto (x; y) de la gráfica de f, tal que x + y = 2 ? ¿cuál es? ¿es x un número racional? 8 –2 10 –2 x y = –2 Ejemplo 3 Solución Observación (8; –2) x y 2 1 –1 –2 2 4 6 8 10 12 (10; –2) f (x)=–2 4. Siendo (x; y) un punto de la gráfica de f ¿a qué es igual x, si x2 + y = 142 ? ¿puede ser x un número negativo? Justifique su respuesta. 5. ¿Es (x; y) un punto de la gráfica de f, si x2 + y2 = 5 ? Justifique su respuesta. 6. ¿Es f una función inyectiva? ¿cuál debe ser el codominio para que f sea sobreyectiva? 7. ¿Puede restringir el dominio de f para que la función resultante sea inyectiva? 8. Dé ejemplo de una función constante cuyo recorrido no sea subconjunto de los números racionales. Anteriormente vimos la forma de trazar la gráfica de una función con dominio restringido; ahora estudiaremos funciones cuyas gráficas se forman a partir de los trozos de gráficas de funciones definidas sobre determinados intervalos. Observe que esta función está definida usando las funciones de los ejemplos 1, 2 y 3. Utilicemos la información que ya tenemos y obtengamos la siguiente gráfica. Ejemplo 4 Solución –2 2 0 –2 x y = g(x) 1 8 –2 10 –2 3 2 Trace la gráfica de ( ) 2 2 2 1 1 1 1 8 2 2 8 g − − < = + < − x x x x x x x y 5 4 3 2 1 –2 2 4 6 8 10 12 (–2; 2) (8; –2) -1 –2 (8; 5) (0; –2) (10; –2) (1; 32) La gráfica de h se obtiene fácilmente porque solamente se tiene que completar la gráfica de g del ejemplo 4 con una parte de la gráfica de la función f definida por f (x) = x3, que corresponde al intervalo (–∞; –2). Así tenemos Es obvio que [ ) [ ) [ ) [ ) 2;1 1; 8 8; 2; g D = − = − + El recorrido de g es el intervalo [–2; 5). g no es inyectiva porque 0 y 10, elementos del dominio, tienen la misma imagen, –2. De esto se concluye que g no tiene inversa. g crece en los intervalos (0; 1) y (1; 8), decrece en (–2; 0) y no crece ni decrece en (8; +∞). 1. ¿Es g una función par ? ¿es g impar? Justifique su respuesta. 2. Dé ejemplo de un conjunto que contenga al dominio de g. 3. Restrinja el dominio de g de tal forma que la función resultante sea inyectiva. –3 –27 –2 2 –1 0 –2 1 x y = h(x) –1 2 3 4 3 8 –2 10 –2 Ejemplo 5 Solución (1; 2 ) 4 2 –2 –4 –6 –8 –10 –12 –14 (–2; 2) (8; 5) (8; –2) (–2; –8) x y –2 2 4 6 8 10 12 Haga un bosquejo de la gráfica de la función h definida así: ( ) 3 2 2 2 2 1 1 1 1 8 2 2 8 h < − − − < = + < − x x x x x x x x 3 Las características de la función h son iguales a las de g del ejemplo 4, en el intervalo [−2; + ) puesto que ahí las dos funciones coinciden. Características adicionales de h son: Crece en el intervalo (− ; −2). El recorrido de h es el intervalo (− ; − 8) [−2; 5). El dominio de esta función es , el conjunto de número reales. 1. Si a h consideramos una función de en , ¿es sobreyectiva? 2. ¿Pertenece a h el par (– 2; – 8)? Justifique su respuesta. 3. ¿Cuál es la imagen, mediante h de 2 015 y 2 020? 4. Siempre utilizando la función h, ¿cuál es una de las preimágenes de cero?¿es única?¿qué justifica su respuesta? 5. ¿Para qué valores de x1 , x2 , x3 x4 los pares ( ) ( ) x1 ; 2 , x2 ; −27 , ( ) x3 ; −2 y ( ) x4 ; −1 pertenecen a h. 6. Si ( ) ( ) ( ) 1 2 3 23; , 1; , 7; 5 3 − y − y y y ( y ) 15 628; 4 son elementos de h, encuentre cada yi , i = 1, 2, 3, 4. 7. Utilice una función cúbica, una lineal y una cuadrática para construir una función definida por partes con dominio los números reales positivos. 8. Trace la gráfica de la función del ejercicio anterior y mencione 5 de sus características que incluyan el dominio y recorrido. Las funciones del ejemplo 4 y 5 son llamadas funciones a trozos o funciones definidas por partes. y Una función se llama definida por partes (a trozos) si la regla que la define incluye más de una expresión (más de una fórmula). Cada vez que grafique una función definida por partes no se olvide de realizar la prueba de la recta vertical para asegurarse que no ha cometido errores. Son ejemplos de funciones definidas por partes las llamadas escalonadas. A continuación presentamos una de ellas. Un lugar de estacionamiento de autos tiene la tabla de precios que aparece a la izquierda donde T es el tiempo en horas y P es el precio en córdobas.Trace su gráfica. Es importante aclarar que el precio cambia hasta que transcurren horas completas y según la tabla se paga el máximo cuando se pasa de 7 horas. En general, 1. Denotemos por f a la función anterior. Encuentre (0; 1] gratis 5 15 10 20 22 25 T P (1; 2] (2; 3] (3; 4] (4; 5] 18 (5; 6] (6; 7] (7; 24] 25 20 15 10 5 2 4 6 8 24 T P Observación Ejemplo 6 Solución (2,5), (22), (19), 12 , 12 (22), 2 f f f f f f 2. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de f ? 3. Encuentre 4 puntos de la gráfica de f cuyas abscisas sean números racionales no enteros. ¿Hay puntos en la gráfica de esta función cuyas ordenadas sean números no racionales? 4. ¿Pertenecen a la función f los pares (0; 0), (1; 5), (2; 10) y (3; 10)? Justifique su respuesta. 5. Grafique a partir de f, las funciones h, g, s y t con leyes de asignación: h(x) = f (x) – 2, g(x) = 4 f (x), s(x) = f (x+1) y t(x) = g(x) + 5. Encuentre el recorrido de cada una de ellas. ¿Son funciones escalonadas?¿alguna de ellas es inyectiva? Si es posible, encuentre una preimagen de 16 mediante cada una de las funciones anteriores.