LAS FUNCIONES COMO MODELOS MATEMATICOS EJEMPLOS RESUELTOS

Modelización

funciones  como modelos matemáticos :

Un modelo matemático es un proceso mental que conduce a convertir un problema difuso de la realidad en un problema claramente matemático , de modo que, resolviendo este último , se consiga una solución, o al menos un buen conocimiento del primero . En su proceso de elaboración , las funciones constituyen una herramienta fundamental.

Al proceso que permite traducir una situación real en una función matemática se le denomina modelización . A continuación , presentamos algunos ejemplos de esta técnica .

Ejemplo 1 :

Costo de construcción de una cisterna: Un grupo de ingenieros construye una cisterna , de modo que su capacidad sea de 300 metros cúbicos de agua . La cisterna tiene como base un cuadrado , cuatro caras verticales , todas hechas de concreto, y una tapa cuadrada de acero . Si el concreto cuesta $1,5 el metro cuadrado y el acero , $4 el metro cuadrado, determinar el costo total C , como una función de la longitud del lado de la base cuadrada.

Resolución:

El prisma tiene las siguientes dimensiones: largo : x , ancho: x , altura: h

Como el volumen debe ser de 300 m3, entonces, (x)(x)(h) = 300, de donde: 

Elaboramos la función costo , multiplicando las áreas de las caras por el costo del metro cuadrado respectivo :

Ejemplo 2 :

Costo de naranjas al por mayor: Un ambulante puede comprar naranjas en el mercado mayorista a los precios siguientes : 60 céntimos , si adquiere 20 kilos o menos ; 50 céntimos , si compra más de veinte y hasta cuarenta kilos ; y 40 céntimos si la compra excede los 40 kg . Determinar el costo C en función del número de kilos de naranjas compradas (x).

En este caso , la función está segmentada , ya que tiene distintas reglas de correspondencia, dependiendo de los valores de  x.

 Si   ,  C(x) = 0,60x

 Si  , C(x) = 0,50x

 Si 40 < x  ,    C(x) = 0,40x

Ejemplo 3 :

Un problema de optimización : Un fabricante de relojes puede producir un reloj en particular con un costo de $15  por unidad . Se estima que si el precio de venta del reloj es x, entonces el número de relojes que se vende por  semana es 125 – x.

a)Expresar el monto semanal de las utilidades del fabricante como función  x.

b)Utilizar el resultado anterior para determinar las utilidades semanales , si el precio de venta es $45  por  reloj .

c)Determinar cuál debe ser el precio de venta, si se busca que las utilidades semanales alcancen un valor  máximo .

Resolución :