GRAFICA DE UN POLINOMIO EJERCICIOS RESUELTOS

gráficas de de funciones polinómicas Para hacer la gráfica con precisión de una función polinomial se requieren técnicas que van más allá del objetivo de este capítulo. Aceptamos que la gráfica de toda función polinomial es suave y continua. Por suave queremos decir que la gráfica no tiene esquinas o cúspides y continua significa que la gráfica puede ser dibujada sin interrupciones. La figura 3 muestra la gráfica de una función polinomial con cuatro intersecciones con el eje X. Ahora obsérvese que en estas intersecciones con el eje X la gráfica debe cruzar o ser tangente al eje X y por lo tanto entre dos intersecciones consecutivas la gráfica se encuentra por arriba o por debajo del eje X. Para localizar las intersecciones con el eje x se resuelve la ecuación f(x)=0, por ejemplo si f(x)=(x + 2)2(x – 3) entonces : las intersecciones con el eje x se obtienen de: f(x) = (x + 2)2(x – 3) = 0 las cuales son –2 y 3, esto nos lleva a definir el concepto de raíz de un polinomio. DEFINICIÓN II : Sea f una función polinomial de grado mayor o igual a 1, un número real para el cual f(r)=0 es llamado una raíz (real) de f. Por lo tanto, las raíces reales de una función polinomial son las intersecciones de su gráfica con el eje X. Además si x–r es un factor de f, es decir f(x)=(x–r)Q(x) entonces f(r)=0 y luego r es una raíz de f. Si el factor x – r aparece más de una vez entonces r es llamado una raíz múltiple de f, para más precisión damos la siguiente definición. DEFINICIÓN III : Una raíz r de una función polinomial f se dice que es de multiplicidad m si : Según sea m = 1, 2, 3, ... se acostumbra llamar raíz simple, doble, triple, en general raíz de orden m veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 1: Sea : f(x) = (x – 1)2(x – 3)3(x – 5) luego : x = 1 es una raíz doble de f . x = 3 es una raíz triple de f . x = 5 es una raíz simple de f . Ejemplo 2: Para la función polinomial f(x)=x2(x – 3). a) Hallar sus raíces reales (intersecciones con el eje x) b) Hallar sus intersecciones con el eje y. c) Utilizando (a) determine los intervalos donde la gráfica de f está por arriba o por abajo del eje x. d) Trazar la gráfica de f. Resolución: a) Las raíces de (intersección con el eje x) se hallan resolviendo en , f(x) = 0 x2(x – 3) = 0 Luego : x = 0 es una raíz doble de f . x = 3 es una raíz simple de f . b) La intersección con el eje y es : c) Las raíces reales de f divide el eje x en los intervalos , para determinar los intervalos donde la gráfica de f está por arriba del eje X resolvemos f(x) > 0 [o por debajo del eje X , f(x)< 0 ] Luego : d) Graficamos la función polinomial : Obsérvese del ejemplo anterior que la gráfica de f cruza al eje X en x=3, la cual es una raíz simple de f y es tangente al eje X en x=0 la cual es una raíz doble de f. Esto sugiere el siguiente resultado. 1) Si x = r es una raíz real de multiplicidad par, la gráfica es tangente al eje X en r, el signo de f no cambia de un lado al otro de r. 2) Si x = r es una raíz real de multiplicidad impar , la gráfica cruza al eje X, el signo de f cambia de un lado al otro de r. En resumen para graficar una función polinomial : I) Se factoriza completamente en . II) Se determinan los ceros reales de f. • En una raíz real de multiplicidad par ; la gráfica de f es tangente al eje X. •En una raíz real de multiplicidad impar ; la gráfica de f cruza al eje X. III) Entre raíces reales consecutivas, determine si la gráfica de f está por arriba o por debajo del eje X. IV)Teniendo en cuenta II y III trace la gráfica de f. Veamos a continuación un corolario del algoritmo de la división el cual es llamado frecuentemente teorema del residuo.