NÚMERO DE RAÍCES DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL EJEMPLOS

RELACIÓN ENTRE LAS RAÍCES Y LOS COEFICIENTES DE ECUACIONES POLINOMIALES Las raíces de una función polinomial son las soluciones de la ecuación f(x)= 0 . Las raíces de una función polinomial pueden ser reales o complejas. Las raíces reales de f son las soluciones reales de la ecuación f(x)= 0, geométricamente son las intersecciones de la gráfica de f con el eje X, las raíces complejas no tienen una interpretación geométrica tan directa. Sin embargo , en la mayoría de los casos, las raíces de una función polinomial son dificiles de encontrar, no existen fórmulas sencillas disponibles como en el caso de la ecuación cuadrática. Aún cuando existen fórmulas para hallar las raíces para funciones polinomiales de grado 3 y 4 estas son complicadas y díficiles de usar, además se ha demostrado que no existen fórmulas generales para hallar las raíces de funciones polinomiales de grado 5 o mayor. El primer teorema que presentamos está referido al número de raíces reales que una función polinomial puede tener . Al contar las raíces de una función polinomial, contamos cada raíz tantas veces como sea su multiplicidad. teorema 1 : Toda función polinomial de grado n tiene a lo más n raíces reales. El siguiente teorema es usado para localizar las raíces reales de una función polinomial. teorema 2 : Sea f una función polinomial, si a Ejemplo: Demuestre que f(x) = x3 + x – 1 tiene exactamente una raíz real en el intervalo [0 ;1] Resolución: Como f(0)= –1 y f(1)= 1, los cuales son de signos opuestos , entonces por el teorema anterior , f tiene al menos una raíz real en . La unidad de esta raíz real es consecuencia del hecho de que f es estrictamente creciente en [0;1]. En general no es posible garantizar cuando una función polinomial tiene una raíz real, por ejemplo f(x)=x2+1 no tiene raíces reales. El siguiente teorema establece una condición suficiente para que una función polinomial tenga una raíz real. teorema 3 : Toda función polinomial (con coeficientes reales) de grado impar tiene al menos una raíz real. Ejemplo: Demostrar que : f(x)=x5+x2 – 1 tiene al menos una raíz real en el intervalo [0;1] Resolución : Al ser f una función polinomial de grado 5 por el teorema anterior, tiene al menos una raíz real y como f(0)=–1, f(1)=1 se deduce del teorema del valor intermedio que una raíz real está en el intervalo . teorema 4 : Sean a y b dos números racionales tales que es irracional , y sea f una función polinomial con coeficientes racionales. Si es una raíz de f entonces también es raíz de f. Ejemplo: Hallar una función polinomial de menor grado con coeficientes racionales y que tenga como raíces a 2 y . Resolución: Si es una raíz entonces por el teorema anterior también debe de serlo y por lo tanto puede escribirse como: Efectuando operaciones : f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 2 Es la función polinomial buscada. raíces racionales de un polinomio teorema 5 (De las raíces racionales) : Sea f una función polinomial de grado mayor o igual a 1 de la forma : f(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0 con con cada coeficiente entero. Si , sin factores comunes , es una raíz racional de f entonces: p es un divisor del término independiente a0 q es un divisor del coeficiente principal an Este teorema nos dice que las posibles raíces reales de f solo pueden hallarse entre aquellos números racionales de la forma donde p es divisor de a0 y q es divisor de an. Corolario 1: Si la función polinomial del teorema de las raíces racionales, tiene coeficiente principal an , igual a 1, entonces toda raíz racional es un número entero y es divisor del término independiente a0 . Ejemplo : Determinar las raíces racionales , si existen, de: Resolución: Para aplicar el teorema de las raíces racionales , los coeficientes deben ser enteros, así es que : y es suficiente trabajar con 6x3 + 29x2 – 40x+12, sus posibles raíces racionales serán de la forma: Es decir solo podrá tomar tres de los siguientes valores posibles. Al probar cada uno de ellos mediante la división sintética vemos que las únicas que producen el residuo R = 0 son – 6 , 1/2 , 2/3, en efecto. Por lo tanto : Es decir : relación entre las raíces y los coeficientes : Presentamos un teorema que establece la relación entre las raíces y los coeficientes de una función polinomial. teorema 6 : Sea la función polinomial : p(x)=anxn +an–1xn–1 +an–2xn–2 +an–3xn–3 +...+a1x + a0 y x1 , x2 , ....., xn sus raíces , entonces: La prueba de este teorema consiste en desarrollar la expresión : p(x) = an(x – x1)(x – x2)...(x– xn) y comparar los coeficientes. Ejemplo 1: Hallar todas las raíces de : r(x)=x6 – 2x3–9x2–6x Resolución: Según el teorema de las raíces r(x) tiene 6 raíces. Podemos expresar a r(x) con el factor común x: r(x) = x(x5 – 2x2 – 9x – 6). Calculemos a r(x) en los factores de –6 para descubrir alguna de sus raíces: y no son raíces. r(–1) = 0 , r(2) = 0, entonces –1 y 2 son raíces de r(x) . Además, como r(0)=0 , 0 es raíz. Entonces : (x – (–1))=(x + 1) , (x –2) = (x – 2), y (x – 0)= x son factores de r(x). Por divisiones sintéticas llegamos a factorizar: r(x) = x(x + 1)(x + 1)(x – 2)(x2 + 3) Como , entonces: Por tanto, las 6 raíces son : y . Notése que –1 es raíz doble de r(x). Ejemplo 2 : Dibujar la gráfica de la función polinómica Resolución : Entre los factores de – 4 : 1 ; –1 ; 2 ; –2 ; 4 y –4 , sólo f(1) = 0 y f(–2) = 0. Entonces : (x – 1) y (x + 2) son factores de f(x) Realicemos : (x – 1)(x + 2) = (x2 + x – 2) Por división algebraica y raíces complejas: Las raíces reales 1 y –2 serán los ceros en la gráfica de la función f(x) . Nótese que y no son ceros en la gráfica porque no son raícess reales. Los ceros en la gráfica nos permiten afirmar que f(x) corta al eje x en los valores 1 y – 2. Por último , hacemos una tabla de valores antes y después de cada cero en la gráfica.