TEOREMA DEL RESIDUO Y DEL FACTOR EJEMPLOS

teorema del residuo Sea f la función polinomial de grado mayor o igual a 1 , entonces el residuo de la división de f entre x–a es igual al valor numérico de la función polinomial en x=a. Es decir. Residuo : R = f(a) Prueba: En efecto , por el algoritmo de la división de polinomios se cumple : f(x) = (x – a)Q(x) + R ; R constante y si en esta relación reemplazamos x = a en ambos miembros, entonces : f(a) = (a – a)Q(a) + R es decir : f(a)=R Ejemplo: Hallar el residuo de la división de : f(x)=x3 + 2x2 – 3x+1 entre x+1 Resolución: Por el teorema del residuo : Una consecuencia del teorema del residuo es el teorema del factor. teorema del factor Sea f una función polinomial de grado mayor o igual a 1, entonces x–r es un factor de f(x) si y sólo si f(r)=0, nótese que el teorema del factor consta de dos enunciados separados: I) Si es un factor de f(x) II) Si x – r es un factor de Un empleo del teorema del factor es para determinar si un polinomio tiene un factor en particular. Ejemplo 1: ¿Es x + 1 un factor de f(x)=x3+x+2? Resolución: Como x + 1 = x – (–1), r= –1, hallamos f(–1)=(–1)3 –1+2= 0 entonces por el teorema del factor, x + 1 es un factor de f(x). Ejemplo 2 : ¿Es x + 2 un factor de f(x) = x3 + x – 3? Resolución: Como x + 2 = x – (–2), r = –2, hallamos . Entonces por el teorema del factor x + 2 no es un factor de f(x) = x3 + x – 3.