Números complejos ejercicios resueltos
Unidad imaginaria El número complejo (0;1) es la unidad imaginaria; tiene la particular notación i = (0;i). Teoremas i2 = –1 ; i = (0;i) y R (0;y) = yi Según la notación de Gauss: −1 = i
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Potencias enteras de la unidad imaginaria Estudiaremos el comportamiento del número in; n Z; teniendo en cuenta la siguiente definición: i0 = 1 ; i1 = i i1 = i i2 = –1 i3 = i2 · i = –i i4 = i2 · i2 = (–1)(–1) = 1 i5 = i4 · i = i i6 = i4 · i2 = –1 i7 = i4 · i3 = –i i8 = i4 · i4 = 1 Propiedades Se observa principalmente que: i4 = 1 ; i8 = 1 ; i12 = 1 ; etc. Esto implica que la unidad imaginaria elevado a un múltiplo de cuatro es igual a la unidad. En general: i± 4 = 1 Números Complejos UNIDAD 10 Luego deducimos que: i4+1 = i ; i4+2 = −1 ; i4+3 = −i Generalizando: i4+k = ik Números Complejos Definición Se llama número complejo a todo par ordenado (x,y) de componentes reales. Notación Z = x + yi o Z = (x,y) El conjunto cumple con todos los axiomas de R con excepción de la relación de orden. Donde: x : se le llama parte real de Z (Re(Z)=x) y : se le llama parte imaginaria de Z (im(Z)=y) i : es la unidad imaginaria establecido por: −1 = i i2 = −1 Z : es la variable compleja x+yi : es el número complejo (x;y): es el número o par complejo Tipos de números complejos Luego de algunas definiciones necesarias tenemos los tipos de complejos: 1. C omplejo real o puramente real Es aquel número complejo que carece de la parte imaginaria; es decir su parte imaginaria es cero. Notación: z = (x,0) = x ; ∀ x ∈ R 2. C omplejo imaginario puro Es aquel número complejo que carece de la parte real; es decir su parte real es cero; además su parte imaginaria siempre es diferente de cero. Notación: z = (0;y) = yi ; ∀ y ∈ R – {0} 3. C omplejo Nulo Es aquel número complejo que presenta la parte real e imaginaria igual al número cero; es decir las dos componentes son nulas. Notación: z = (0; 0) Definiciones 1. Dado el complejo z = (x,y) = x+yi se define el conjugado de z denotado por z; tal que: z = (x; –y) = x – yi 2. Dado el complejo z = (x;y) = x+yi se define el opuesto de z denotado por z*; tal que: z* = (–x; –y) = –x – yi Ejemplo I Sea: z = (4; –5) ⇒ = − = − z* ( 4;5) z (4;5) Álgebra de los números complejos Se realizan mediante los axiomas del conjunto R. Ejemplo: Adición: (2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i Sustracción: (5+7i) – (9+2i) = (5–9) + (7–2)i = –4 + 5i Multiplicación: (4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = –25+50i División: 2 2 4 5i (4 5i)(3 i) 12 4 i 15 i 5 i 17 11i 3 i (3 i)(3 i) 9 i 10 10 + + − − + − = = = + + + − − Raíz cuadrada: 2 x 2 x + yi = ρ + x ± ρ − i Eje Real Eje imaginario Radio vector Z(x,y) |Z|=ρ Polo y x θ Elementos geométricos del Número Complejo Si: Z = x + yi es un complejo, se definen: 1º) Módulo de un número complejo: ρ =| Z |= x2 + y2 ; x, y ∈ R |Z| ≥ 0 2º) Argumento de un número complejo: θ α = x y arc tg ; x ≠ 0 α ∈ R 3º) Representación geométrica. Todo número complejo se puede representar por puntos en el plano llamado Plano Complejo o Diagrama de Argand. Sea: Z = x+yi ; x ^ y ∈ R Forma polar o trigonométrica de un complejo z = ρ(Cosθ+iSenθ) = ρCisθ Forma exponencial de un complejo z = ρeθi P B 2. NÚMEROS COMPLEJOS El conjunto de los números complejos se denota por: = { a + b i / a, b i2 = 1 } Notación: z = a + b i, donde a = Re(z) y b = Im(z). 2.1 Igualdad de números complejos. a + b i = c + d i [ a = c b = d ] 2.2 Operaciones con números complejos. Si z a bi, w c di entonces z w (a c) (b d)i z. w (ac bd) (bc ad)i 2.3 Definiciones: Sea z = a + bi. z = a b i se llama conjugado de z. | z | = a2 b2 se llama módulo de z. Observación: (1 + i)2 = 2 i; (1 i)2 = 2 i; 1 i 1 i = i; 1 i 1 i = i 2.4 Propiedades: Sean z, w se tiene las siguientes propiedades. 1. z z = | z |2 6. z w = z +w 2. z + z = 2 Re(z); z z = 2 i Im(z) 7. z w = z w 3. | z | = | z | = | z | 8. zw = z w 4. | zw | = | z | | w | 9. z = z 5. z w = z w ; w 0 10. zn z n , n Z 2.5 Potencias de la unidad imaginaria i. 01. Efectuar: E = i1 + i2 + i3 + i4 + ... + i2009 a) 1 b) -1 c) i d) –i e) 0 02. Halle: Re(Z)+Im(Z), sabiendo que: Z = (1+ i)2 + i6 − i32 a) 2i b) 1 c) i d) 3i e) 0 03. Calcular G = (1+ i)16 + (1− i)16 a) 32 b) -i c) i d) 16 e) 0 04. Calcular: a + b ; si: a + bi = (1+ i)4 + (1− i)3 a) 8 b) 16 c) 32 d) -8 e) 0 05. Calcular: 13 21 2008 17 25 Z 1 i 1 i 1 i 1 i + − = + − + a) 2i b) -2i c) i d) –i e) 0 06. Calcular: 21 25 29 Z 1 i 1 1 i 1 1 i 1 i = + − + − + − a) 1 b) -1 c) i d) –i e) 0 07. Reducir: E = 2 i − 2i a) 1+i b) 1-i c) i d) –i e) 0 08. Simplificar: 34 78 1112 5556 12 56 910 5354 R = i + i + i + ... + i a) 12i b) 13i c) 14i d) –i e) 0 09. Reducir: M 2 5 1 i 2 i = + + − a) 1 b) -1 c) 2i d) 3 e) 0 10. Simplificar: S 5 2 17 1 2i 1 i 4 i = + + + − − a) 1 b) 6 c) i d) 6i e) –i 11. Reducir: M 4 i 3 8i 1 4i 8 3i = + + + − − a) 1 b) 2i c) i d) –i e) 0 12. Hallar el módulo: Z 2(2 i) 2 i = + − a) 1 b) 2 c) 5 d) 0 e) 4 13. Indicar el módulo: Z (1 3i)(2 2i) ( 3 7i)(1 i) = + + + − a) 1 b) -1 c) i d) –i e) 0 14. Calcular: Z en: 22 20 25 20 16 Z (1 i) (1 i) i (1 i) (1 i) = + + + + − − a) 2 b) 2 c) 3 d) 5 e) 1 15. Obtener: Z2007 Z 1 i 1 1 i 1 1 i 1 i = − + − + − + a) 1 b) -1 c) i d) –i e) 0 16. Reducir: K (11 i)(i 1) 5(i 1) 7 15i 11 64i = + + − − − + − a) 1/4 b) 1 c) 4 d) -1/4 e) -1 17. Calcular “n” real si: Z 4 (n 1)i 2 5i = + + + Es un complejo real. a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 18. Hallar “b” para que el complejo: Z 6 2i 1 bi = + + Sea imaginario puro. a) 1 b) -1 c) 2 d) –2 e) -3 19. calcular: E = 3 + 4i + 3 − 4i a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 20. Si: 5 x + yi = 7 − 24i ; hallar el valor de: 2 2 M 10 (x y) (y x) 2 + + − = a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 CLAVES 8. Si w 1 es una raíz cúbica de la unidad, hallar el valor de 28 56 84 840 M w w w . . . w A) – 1 B) 1 C) 0 D) 2 E) – 2 8. Si 1 i , w 4 1 z 5 es una raíz cúbica de la unidad w 1, tal que Imw 0; determine el valor de 2 2z 2w . 6. Hallar el número complejo z que satisface . i5)izIm()3izRe(z5++=++ A) 5 + 8i B) 8 – 5i C) 8 + 5i D) 5 – 8i E) 4 + 5i Solución: 8. Hallar el máximo valor de a + b, siendo z = a + bi con ∈b,a R+ y 1z= 9. ¿De qué número complejo 2+3i es raíz cúbica? A) 24 + 8i B) – 46 + 9i C) –12 – 9i D) – 8 + 46i E) 4 – 5i 10. Si w es una raíz cúbica de la unidad 1w≠,hallar el valor de . 28272524222)w1()w1()w1()w1()w1()w1(M−−−−−−= A) 81 B) 1 C) 0 D) 3 E) 729 2. Si y w = 1– z, hallar Re(z) – Im(w). 2)i1(z3−+= A) 0 B) 2 C) – 2 D) – 3 E) 1 4. Si donde satisfacen la ecuación iyxz+=R∈y,xi1z2=+ , hallar . 4. Si z es un número complejo no real tal que 2 2 iz z iz z , hallar 1 z . 8. Si 3 5 y 192 son respectivamente el argumento y el módulo del número complejo z, hallar Re(z) Im(z 3i) 2 .5. Si 3 z 4cis , hallar la forma polar de Im(z)+iRe(z).