CÁLCULO DE DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS E INVERSAS RESUELTAS
EJERCICIO 1 :
Derive:
y = f(x) = cosx³
A) – 3x²cosx³
B) – 3x²senx³
C) 3x²senx³
D) – 3x²senx³
E) – 3xsenx³
EJERCICIO 2 :
Derive:
y = f(x) = tan(x² + x)
A) 2xsec(x² + x)
B) 2xsec²(x² + x)
C) (2x+1)sec(x² + x)
D)(2x+1)sec²(x² + x)
E) – (2x+1)sec²(x² + x)
Derive usando la definición:
y = f(x) = sen3x
A) 3sen3x
B) 3cos3x
C) 3cosx
D) – 3cos3x
E) – 3en3x
El teorema anterior nos permite calcular la derivada de funciones que antes no estábamos en condiciones de determinar.
Ejemplo
Cálculo de derivadas usando regla de la cadena
Determinar la derivada de cada función: (a) y = sen 2 x(b) y = sec (t2)(c) y= (d) y = tan3 (5x) Solución: (a) Tenemos que sen 2 x = (sen x)2 de modo que aplicando la regla de la potencia obtenemos y' = = 2(sen x) (sen x)' = 2(sen x) (cos x) = sen 2x. (b) En este caso tenemos que aplicar la regla general de la cadena. La función de "afuera" es la secante y la de "adentro" es t2. De manera que se deriva la secante, que es secante por tangente, pero evaluando en t2 y esto se multiplica por la derivada de t2. Así y'= [sec(t 2)]' = ´ = derivada de la "de afuera" derivada de la "de adentro" [sec (t 2) tan (t 2) ] 2 t = 2 t sec(t 2) tan (t 2) (c) Aquí tenemos en principio un cociente, aplicamos la regla que corresponde en este caso: y'= = Al calcular las derivadas que están indicadas nos encontramos que debemos usar la regla de la cadena en el cálculo de la derivada de (cos x3), en este caso procedemos de modo parecido al punto (b). Tenemos y sustituyendo y' tenemos: y'= . (d) Aquí se debe aplicar dos veces la regla de la cadena: y'= [tan3(5x)]' = [( tan(5x) )3 ]' = 3 ( tan(5x) )2 ( tan(5x) )' = 3 ( tan(5x) )2 ( sec2(5x) ) (5x)' = 3 ( tan(5x) )2 ( sec2 (5x) ) (5) =15 tan2 (5x) sec2 (5x PROBLEMA 1 : Derive: y = f(x) = sen(tanx) A) sen2x cos(tanx) B) cos2x cos(tanx) C) sec2xcos(tgx) D) –sec2x cos(tanx) E) csc2x cos(tanx) RESOLUCIÓN : Por función compuesta:f(x) = sen(tanx) Þ f'(x) = (tanx)’ [sen(tanx)]’ Þ f'(x) = sec2x . cos(tanx) Rpta : “C” PROBLEMA 2 : Derive: y = f(x) = RESOLUCIÓN : RESOLUCIÓN : Una de las aplicaciones de la derivada permite calcular el máximo o mínimo valor de funciones, para ello se procede hallando la primera derivada e igualando a cero para hallar los puntos críticos y luego se verifica con la segunda derivada. En la función: y = senx + cos2x y’ = cosx – 2sen2x = 0 Þ cosx = 2×2senx.cosx Þcosx(1 – 4senx) = 0 Usando definición, derive: y = f(x) = cos2x A) 2sen2x B) – 2sen2x C) 2cos2x D) – 2cos2x E) – 2cos2x.sen2x Usando definición, derive: y = f(x) = sen6x A) 6sen6x B) 6cos6x C) – 6sen6x D) – 6cos6x E) – 6sen6x.cos6x Derive usando la definición: y = f(x) = cos4x A) 4cos4x B) 4sen4x C) – 4sen4x D) – 4cos4x E) 4senx
