ECUACIONES DIOFANTICAS PROBLEMAS RESUELTOS

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MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIOFÁNTICAS Mediante las actividades que se desarrollaran en el taller, se busca que los participantes se involucren en la resolución y planteamientos de problemas contextualizados a la realidad del estudiante y que involucren aritmética entera. También en el taller, se pretende construir en forma conjunta una propuesta metodológica con el fin de que se considere como una alternativa a ser incluida dentro del plan de estudios a nivel de secundaria en el área de matemática. Justificación del taller La estrategia basada en la resolución de problemas, se ha convertido desde hace algunas décadas en una importante contribución a la educación matemática en el mundo. Tal vez la obra de Polya, que aunque escrita en los años 40 del siglo XX, fue la pionera en este tipo de propuestas. Él planteó una sucesión de pasos en la resolución de problemas: entender el problema, configurar un plan, ejecutar un plan y mirar hacia atrás. Introducción En la sesión inaugural del 2º Congreso Internacional de Matemáticas, celebrado en París en 1990 David Hilbert planteo una lista de veintitrés problemas, con la intensión de resaltar los más importantes problemas matemáticos no resueltos que el siglo XX iba a heredar del siglo XIX. En dicha lista aparecería un único problema de decisión, el Problema Décimo: Su enunciado original es Entscheidung der Lösbarkeit einer diophantischen Gleichung Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchen Unbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoecienten sei vorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sich mittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden lä t, ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen lösbar ist. Es decir, dada una ecuación diofántica con cualquier número de incógnitas y con coeficientes numéricos racionales enteros: Idear un proceso de acuerdo con el cual puede determinarse, en un número finito de operaciones, si la ecuación es resoluble en números racionales enteros. En términos más modernos, Hilbert solicitaba a sus colegas del futuro un algoritmo capaz de admitir como entrada (input) una ecuación diofántica cualquiera, y de devolver Si como resultado (output) si la ecuación procesada tenia soluciones en los enteros o No si la ecuación procesada carecía de soluciones en los enteros. Por ejemplo, la ecuación x2+y2=z2 obtendría un Si, puesto que tiene soluciones enteras, empezando con x=3, y=4, z=5 y siguiendo con otros infinitos tripletes. En cambio, cualquier ecuación xn+yn=zn con n>2 obtendria un No, puesto que no tiene soluciones enteras. -2- El problema no se resolvió hasta 70 años después, y en sentido negativo. En 1970 Yuri Matiyasevich1 culminó más de veinte años de trabajo de varios matemáticos, entre ellos Martin Davis, Julia Robinson y Hillary Putnam, con la demostración de imposibilidad del décimo problema: ningún algoritmo es capaz de determinar la resolubilidad de cualquier ecuación diofántica. El planteamiento, desarrollo y demostración del problema tienen gran interés en matemática moderna, porque en ellos participan conceptos de teoría de números y de lógica matemática, y se abren nuevos campos de investigación en ambas disciplinas. Definiciones Se llama ecuación diofántica (en recuerdo a Diofanto2 de Alejandría) a cualquier ecuación algebraica con coeficientes enteros, generalmente de varias variables, planteada sobre el conjunto de los números enteros Z o los números naturales N, es decir, se trata de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros. Ejemplos • 3x + 8y = 5 • x2 + y2 = z2 • x4 + y4 = z4 • x3 + y3 = z4 • x2 + y2 = 7z2 • x2 + 1 = y2 • x6 + y6 + z6 + u6 + v6= w6 • x5 + y5 + z5 = w5 • xk + yk = n! zk , k  2, n >1 • xn + yb = zc, a, b, c > 2, mcd(a, b,c)=1 Veremos cómo resolver las ecuaciones diofánticas, dividiéndolas en diferentes tipos. Métodos nta s para r so v r cuac on s d ofánt cas Método de factorización El método de factorización consiste en expresar una de las partes como un producto y teniendo en cuenta el otro lado analizar los casos posibles. 1 Yuri Matiyasevich (1947) Matemático ruso. En 1964 obtuvo el primer lugar de la 6º Olimpiada Internacional de Matemática que tuvo lugar en Moscú. Es muy conocido por su solución negativa del décimo problema de Hilbert, presentada en su tesis doctoral, en LOMI, el Departamento de Leningrado del Instituto de Matemática Steklov. 2 Diofanto fue un matemático griego famoso en su tiempo, quien estudio especialmente la resolución de ecuaciones en enteros. La mitad de su obra principal, Aritmética, sobrevivió hasta nuestros días. Muy poco se sabe de su vida, excepto unos datos aparecidos en una colección posterior de rompecabezas griegos, que nos dicen que vivió hasta la edad de 84 años y tuvo un hijo que murió cuando Diofanto tenía 42 años. -3- Ejemplo 1 Halle todos los números naturales n y los números primos p que sean soluciones de la siguiente ecuación. n3 + 7n2 + 14n + 8 = 6p

Las monedas de un nuevo sol tienen como diámetro 2,5 cm y los de 10 céntimos, 2 cm. Miguel ubica las monedas en una mesa en forma alternada uno a continuación de otro (tangentes) k monedas, formando una línea recta de y metros . Halle la menor cantidad de monedas de un nuevo sol. A) 10 B) 18 C) 30 D) 44 E) 71 En una reunión asisten caballeros ya sea con una dama o con dos niños. Lo que se consumió en la reunión alcanza para 40 adultos o 60 niños. ¿Cuál es la máxima cantidad de personas que pudieron asistir a la fiesta? A) 46 B) 19 C) 48 D) 18 E) 62 Durante un conferencia sobre el estudio de la matemática, se realizaron grupos de trabajo no mixtos, a los varones se les reunió en grupos de 17, sobrando uno, y a las mujeres en grupos de 13 sobrando 10, con los que sobraron se forma otro grupo, si el total de asistentes a la reunión fue de 221, ¿cuántos varones estuvieron presentes en la conferencia? A) 141 B) 120 C) 101 D) 119 E) 131