ARCO MITAD EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA
OBJETIVOS
• Establecer las relaciones fundamentales del ángulo mitad en términos del ángulo simple
• Aplicar correctamente las identidades en la simplificación de expresiones.
Para obtener las identidades del ángulo mitad utilizamos: * cos2a = 1 – 2sen2a Despejamos sena: 2sen2a = 1 – cos2a → sena =± 1– cosa 2 Haciendo: a = q 2 tenemos: → sen q 2 =± 1– cosq 2 ... (1) * cos2a = 2cos2a – 1 Despejamos cosa: 2cos2a = 1 + cos2a → cosa = ± 1+cos2a 2 Haciendo: a = q 2 tenemos: → cos q 2 =± 1+cosq 2 ... (2) Para tg q 2 tenemos: tg q 2 =± 1– cosq 2 1+cosq 2 → tg q 2 =± 1– cosq 1+cosq Para las identidades auxiliares: * tg q 2 = 1– cosq 1+cosq Multiplicamos y dividimos por 1– cosq : tg q 2 = 1– cosq 1+cosq · 1 – cosq 1 – cosq tg q 2 = (1– cosq)2 1– cos2q tg q 2 = 1– cosq senq → tg q 2 =cscq – ctgq ... (1) * ctg q 2 = 1+cosq 1– cosq Multiplicamos y dividimos por 1+cosq : 1. Reduzca: − = − csc ctg 1 Q 2 csc tg 1 2 x x x x A) ctg3x B) ctg2 x2 C) ctg x2 D) ctgx E) ctg2x Resolución 2 2 csc (csc ctg ) 1 Q csc (csc ctg ) 1 csc csc ctg 1 ctg csc ctg Q Q csc csc ctg 1 ctg csc ctg ctg csc ctg Q Q 2 ctg csc tg 2 ∴ Q = ctg2 x2 Rpta.: B 2. Sabiendo que sena = – 21 5 , donde a ∈ 〈180º, 270º〉, calcule cos a 2 . A) – 3 B) 0,3 C) 3 D) 0 E) – 0,3 Resolución → cosa = – 25 Luego: 1 2 5 cos , IIC 2 2 2 cos 3 2 10 ∴cos a 2 = – 0,3 Rpta.: E 3. Determine el valor del ángulo agudo x si: senx = 1+( 6 – 3+ 2 – 2)2 1 A) 80º B) 83º C) 15º/2 D) 82º 30' E) 82º Resolución senx = 1+ ( 6+ 2 ) – (2+ 3 ) 2 1 2 2 2 sen 1 1 (4cos15º ctg15º) sen 1 1 4sen15º cos15º cos15º sen15 º sen 1 1 2sen30º cos15º sen15 º sen 1 1 1 cos15 sen15 sen 1 1 (csc15 ctg15 ) sen 1 sen cos 15 15 2 1 tg ∴ x = 82º 30' Rpta.: D
