TRIÁNGULOS EJERCICIOS RESUELTOS DE SECUNDARIA EN PDF

• Aplicar, correctamente los teoremas fundamentales de los triángulos de acuerdo a los condiciones de un problema. 

• Identificar y graficar las principales líneas notables de un triángulo así como diferenciar su ubicación en diferentes tipos de triángulos. 

• Reconocer e identificar la congruencia de triángulos a partir de los 3 casos fundamentales. 
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DEFINICIÓN: Se llama triángulo a la figura formada por 3 segmentos de recta que unen tres puntos no colineales. NOTACIÓN. Un triángulo se denota por las tres letras mayúsculas que llevan sus vértices, denominándolo:  ABC = Elementos: Lados: Vértices: A, B, C Internos Angulos Externos Perímetro (2p): 2p = a + b + c Semiperímetro (p) NOTA 1. Las medidas de los lados del triángulo se designan por la letra minúscula del vértice opuesto a dicho lado. BC = a , AC = b , AB = c NOTA 2. Todo triángulo divide al plano en tres subconjuntos de puntos: - Puntos interiores al triángulo - Puntos exteriores al triángulo y - Puntos del triángulo NOTA 3. Región Triangular es una figura formada por los puntos del triángulo y los puntos interiores al triángulo. NOTA 4. Cuando se dice área del triángulo, se refiere al área de la región triangular. CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS Atendiendo a sus lados 1) Equilátero 2) Isósceles 3) Escaleno Atendiendo a sus ángulos 1) Rectángulo Acutángulo. Sus tres ángulos son agudos. 2) Oblicuángulos Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso TEOREMA DE PITÁGORAS En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa. a² = b² + c² NOTA 5. En todo triángulo isósceles, al lado desigual se le llama base y al ángulo que se opone a ella se le conoce como ángulo en el vértice o ángulo desigual. Los dos ángulos de la base. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL TRIANGULO 1. La suma de las medidas de los ángulos internos es igual a 180º. Xº + Yº + Zº = 180º 2. La medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes a él.  = Yº + Zº  = Xº + Zº  = Xº + Yº Demostración: 1)  + Xº = 180º 2) Xº + Yº + Zº = 180º 3) Igualando  + Xº = Xº + Yº + Zº  = Yº + Zº L.q.q.d. 3. La suma de las medidas de los ángulos externos es igual a 360º.  + Xº = 180º  + Yº = 180º  + Zº = 180º  +  +  + 180º = 540º  +  +  = 360º 4. TEOREMA DE LA EXISTENCIA DEL TRIANGULO. La medida de un lado es siempre menor que la suma de las medidas de los otros dos lados pero mayor que su diferencia. 5. A mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa. A menor lado se opone menor ángulo y viceversa. A lados congruentes se oponen ángulos congruentes y viceversa. PROPIEDADES DEL CUADRILATERO 1) X = a + b + c 2) Xº + Yº + Zº + Wº = 360º LINEAS NOTABLES Y PUNTOS NOTABLES Las líneas notables son aquellas que cumplen funciones específicas en el triángulo, dichas líneas son: Altura, Mediana, Mediatriz, Bisectriz interior, Bisectriz exterior. Puntos Notables son Ortocentro, Baricentro, Circuncentro, Incentro y Excentro 1. ALTURA. Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice del triángulo a la recta que contiene al lado opuesto. En cada una de las siguientes figuras, el segmento BH es una altura del triángulo ABC. ORTOCENTRO. Es el punto de concurrencia de las alturas de un triángulo. El ortocentro es un punto que puede estar en el interior del triángulo, fuera de él o en el vértice del ángulo recto, según los triángulos sean Acutángulos, Obtusángulos y Rectángulos respectivamente. Este punto tiene la propiedad de dividir a cada altura en dos segmentos cuyo producto es una constante. H: ORTOCENTRO En el vértice de un ángulo recto de un triángulo se ubica el Ortocentro. 2) MEDIANA: Es un segmento que une un vértice y el punto medio del lado opuesto. En la figura M es el punto medio de AC, BM se llama mediana. BARICENTRO (G): Llamado también centro de gravedad o gravicentro o centroide, es el punto de concurrencia de las tres medianas de un triángulo. El Baricentro, siempre es un punto interior al triángulo, divide a cada mediana en dos segmentos que están en la relación de 1/3 y 2/3 de la mediana. BG = 2 (GM) AG = 2 (GN) CG = 2 (GP) 3) MEDIATRIZ: Es una recta perpendicular a un lado del triángulo en su punto medio, dicha recta se encuentra en el mismo plano que contiene al triángulo L L : MEDIATRIZ CIRCUNCENTRO (O): Es el punto de concurrencia de las mediatrices de los lados de un triángulo. El circuncentro es un punto que puede estar en el interior del triángulo, fuera de él o en el punto medio de la hipotenusa, según los triángulos sean Acutángulos, Obtusángulos y Rectángulos respectivamente. Este punto tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo (Circunferencia circunscrita, es la que pasa por los vértices del triángulo) y equidistan de sus vértices. ACUTANGULO OBTUSANGULO RECTANGULO 4) BISECTRIZ INTERIOR. Es el rayo que partiendo del vértice de un triángulo, divide al ángulo interior en 2 ángulos de igual medida. BX: Bisectriz Interior BD: Segmento de bisectriz interior. INCENTRO (I): Es el punto de concurrencia de las bisectrices interiores. El Incentro, siempre es un punto interior al triángulo. Este punto tiene la propiedad de ser al centro de la circunferencia inscrita al triángulo (circunferencia inscrita es la que toca a los lados del triángulo, interiormente en tres puntos) y equidistar de los 3 lados. 5) BISECTRIZ EXTERIOR: Es el rayo que partiendo del vértice de un triángulo, divide al ángulo exterior en 2 ángulos de igual medida. EXCENTRO (E): Es el punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores, con la bisectriz interior del tercer ángulo del triángulo. E: Excentro relativo al lado BC El Excentro es siempre, un punto exterior al triángulo. Este punto tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia exinscrita al triángulo (circunferencia exinscrita es la que toca a un lado y a las prolongaciones de los otros dos lados en tres puntos respectivamente) y equidistar de un lado y de las prolongaciones de los otros dos. Todo triángulo tiene 3 excentros, cada uno de ellos relativo a uno de los lados del triángulo. * CEVIANA: Es el segmento que une un vértice de un triángulo con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación. Desde un vértice se puede trazar infinitas cevianas. Por lo tanto las ceviana no es línea notable. El nombre de ceviana se debe en honor al matemático italiano CEVA en 1678. BP, BQ, BR: Cevianas PROBLEMAS RESUELTOS 01. Hallar Xº a) 50º b) 60º c) 65º d) 70º e) 80º Resolución 1) Por Angulo externo x = y + 25º Construir la mediatriz de un segmento, la bisectriz de un ángulo y la perpendicular a una recta desde un punto, con la regla y el compás. Construir triángulos dados algunos de sus elementos. Obtener las rectas y puntos notables de un triángulo. El tema comienza con la explicación de la construcción de triángulos con regla y compás. A partir de esta construcción se dan los tres criterios de igualdad de triángulos. El tema continúa con la exposición de los elementos notables de un triángulo: las medianas y el baricentro, las alturas y el ortocentro, las mediatrices y el circuncentro, y las bisectrices y el incentro. Los contenidos del tema concluyen con el teorema de Pitágoras y sus aplicaciones. ¿Has hecho alguna vez una construcción con varillas de metal? ¿Has intentado hacer un cuadrado?; si tiras de sus vértices, verás que se deforma. Sin embargo, esto no ocurre en el triángulo. El triángulo es un polígono que tiene una estructura indeformable. Si te fijas en una torre, una grúa o en un andamio, te darás cuenta de que las formas rectangulares contienen diagonales que las dividen en triángulos. • equilátero • isósceles • escaleno acutángulo • rectángulo • obtusángulo • medianas • alturas • mediatrices • bisectrices baricentro • ortocentro • circuncentro • incentro