ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJEMPLOS RESUELTOS

El estudio del presente capítulo nos permite relacionar las condiciones algebraicas sobre ecuaciones con las definiciones de función trigonométrica y arco para poder analizar las condiciones que cumple una variable en una igualdad obtenida a partir de condiciones reales.

Para poder resolver problemas de este tema es importante que el lector tenga en cuenta los conocimientos obtenidos en los capítulos anteriores, sobre todo en el de razones trigonométricas de ángulos agudos, el cual permitió entender el tema de circunferencia trigonométrica y, más adelante, los temas de funciones directas e inversas.














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SENO DE UN ARCO EN LA CT COSENO DE UN ARCO EN LA CT 𝑌 𝑌 𝜋 2 π 𝜋 2𝜋 2 𝜋 3 C. T 𝑠𝑒𝑛 = 1 2 C. T 3 Π 1 𝜋 𝑠𝑒𝑛 6 = 2 π 6 𝑠𝑒𝑛0 = 0 π 0 A(1;0) 11𝜋 0 𝑋 𝑋 11𝜋 1 𝑠𝑒𝑛 6 6 = − 2 3𝜋 2 3𝜋 2 𝑠𝑒𝑛 3𝜋 2 = −1 Cosπ =−1 2π cos 3 cos 1 = − 2 3π 2 = 0 1 cos0 = 1 2 Ecuación Trigonométrica Es una igualdad de expresiones trigonométricas, en donde existe al menos una variable denominada incógnita. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN Es aquel valor que admite la variable de la ecuación y permite la verificación de la igualdad. EJEMPLOS 1.) senx = 1 ; Π es solución 2 EJEMPLOS 2.) cosx = 1 ; 0 es solución 1.) senx = 1 2.) sen2x = 0 SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN Es el conjunto de todas las soluciones de una ecuación. 3.) tanx − cotx = −1 1 EJEMPLO 1.) senx = 1 Resolver y encontrar el conjunto solución de 4.) senx = 2 De donde la Solución general es: 5.) senx = cosx Ecuaciones con cuadrantales Son aquellas ecuaciones que tienen la siguiente forma EJEMPLO Hallar una solución de la ecuación senx = −1 1.) senx = 1 2.) sen2x = 0 3.) cos6x = 1 4.) sen(2x + π 2 ) = −1 5.) cos(x + π ) = 0 2 π 6.) cos(4x − ) = 1 4 2 3π Del gráfico; una solución es 2 APLICACIÓN 1 Hallar las dos menores soluciones no negativas de la ecuación APLICACIÓN 2 Hallar la suma de las dos menores soluciones positivas de la ecuación sen2x = 1 C. T 𝑌 𝜋 5𝜋 2 ; 2 ; 1 9𝜋 2 … 𝑋 Del gráfico; las soluciones no Del gráfico; 𝜋 5𝜋 9𝜋 De donde la suma de las dos menores soluciones negativas son: 0; 2𝜋; 4𝜋… De donde las dos menores 2x = 2 ; Soluciones: x = ; 2 2 𝜋 5𝜋 4 ; 4 ; 9𝜋 4 𝜋 5𝜋 + = 4 4 3𝜋 6𝜋 4 soluciones no negativas son: {0; 2𝜋} = 2 APLICACIÓN 3 Hallar las dos menores soluciones positivas de la ecuación APLICACIÓN 4 Hallar la suma de las dos menores soluciones positivas de la ecuación 𝜋 sen(2x+ ) = 0 2 C. T 𝜋; 3𝜋 0; 2𝜋 𝑋 Del gráfico: 2x = 𝜋 3𝜋 5𝜋 Del gráfico; 𝜋 (2x + ) = 0 ; 𝜋 ; 2𝜋; 3 𝜋 … la suma de las dos menores soluciones positivas es ; ; … 2 2 2 2 𝜋 𝜋 3𝜋 𝜋 3𝜋 4𝜋 De donde las dos menores soluciones 2x = − 2 ; 2 ; 2 … 4 + 4 = 4 positivas son: { 𝜋 ; 4 3𝜋 } 4 Soluciones: −𝜋 𝜋 x = 4 ; 4 ; 3𝜋 4 = 𝜋 a) Hallar una solución de la ecuación 2sen(2x) = 0 b) Hallar la una solución de la ecuación 𝑐𝑜𝑠4𝑥 = −1 c) Hallar la solución general de la ecuación cos2x = 1